Вычисление неопределенных интегралов от многочленов

Формула интеграла от многочлена в общем виде. Примеры вычисления интегралов от многочленов и степенных функций, применяя основные методы интегрирования.

Формула интеграла от многочлена

Представим, для справок, формулу интеграла от многочлена в общем виде. Пусть задан многочлен от переменной x степени n
P_n (x ) = ⁿΣ_i = 0 a_i xⁱ  = a₀  + a₁ x + a₂ x²  + a₃ x³  + ...  + a_n xⁿ ,
где a₀, a₁, a₂, ... , a_n – постоянные, не зависящие от x коэффициенты.

Неопределенный интеграл от многочлена определяется по формуле
∫ P_n (x ) dx = ⁿΣ_i = 0 a_ii + 1 x^i + 1  + C =
 a₀ x + a₁2 x²  + a₂3 x³  + a₃4 x⁴  + ... + a_nn + 1 x^n + 1  + C ,
где C – постоянная интегрирования.

Интегрирование многочленов

Рассмотрим процесс интегрирования многочленов более подробно.

Интегрирование многочленов – это самый простой вид интегрирования. Он основан на двух правилах.
1)   Правило интегрирования суммы или разности.
∫ (u ± v ± w )dx = ∫ u dx ± ∫ v dx ± ∫ w dx
2)   Вынесение постоянной за знак интеграла.
∫ cu dx = c ∫ u dx ,
где u, v, w – функции от переменной интегрирования x ;
c – постоянная, не зависящая от x .

Также мы применяем один табличный интеграл
∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1 .

Далее рассмотрим интегрирование многочленов на примерах.

Примеры

Далее рассмотрены примеры вычислений следующих интегралов.
∫ (x⁴  – 3x²  + 5x ) dx   ∫ (x²  – 1 )²  dx   ∫ (x + 1 )²√ x   dx   ∫ √ x √ x √ x     dx

Примеры вычисления неопределенных интегралов от многочленов

Пример 1

Найти неопределенный интеграл от многочлена
∫ (x⁴  – 3x²  + 5x ) dx .

Решение

Замечаем, что подынтегральное выражение   x⁴  – 3x²  + 5x   является суммой и разностью трех членов:
x⁴,   3x² и 5x .
Применяем правило 1.
I = ∫ (x⁴  – 3x²  + 5x ) dx = ∫ x⁴  dx – ∫ 3x²  dx + ∫ 5x dx

Замечаем, что подынтегральные функции двух последних интегралов умножены на постоянные 3 и 5 , соответственно. Применяем правило 2.
(1.1)   I = ∫ x⁴  dx – 3 ∫ x²  dx + 5 ∫ x dx

Теперь применим формулу из таблицы интегралов
∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1 .
Подставим в нее n = 4 :
∫ x⁴  dx = 14 + 1 x^4 + 1  = 15 x⁵ .
Подставим n = 2 :
∫ x²  dx = 12 + 1 x^2 + 1  = 13 x³ .
Подставим n = 1 :
∫ x dx ≡ ∫ x¹  dx = 11 + 1 x^1 + 1  = 12 x² .

Подставляем найденные интегралы в (1.1).
I = 15 x⁵  – 3 ⋅ 13 x³  + 5 ⋅ 12 x²  = 15 x⁵  – x³  + 52 x²
И, наконец, прибавим постоянную интегрирования.

Ответ

I = 15 x⁵  – x³  + 52 x²  + C

Пример 2

Найти неопределенный интеграл от многочлена во второй степени
∫ (x²  – 1 )²  dx .

Решение

Подынтегральная функция является квадратом от многочлена. Чтобы вычислить неопределенный интеграл, нужно возвести многочлен в квадрат. Для этого мы используем формулу
(a + b )²  = a²  + 2 ⋅ a ⋅ b + b²
и воспользуемся свойством степенной функции:
(x²  – 1 )²  = (x²  + (– 1 ))²  = (x² )²  + 2 ⋅ x²  ⋅ (– 1 ) + (– 1 )²  = x^2 ⋅ 2  – 2x²  + 1 =
 x⁴  – 2x²  + 1 .

Также, можно было бы перемножить сомножители:
(x²  – 1 )²  = (x²  – 1 ) ⋅ (x²  – 1 ) = (x²  – 1 ) ⋅ x²  – (x²  – 1 ) ⋅ 1 =
 x²  ⋅ x²  – 1 ⋅ x²  – x²  ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = x^2 + 2  – x²  – x²  + 1 = x⁴  – 2x²  + 1 .

В результате мы получаем интеграл от многочлена
I = ∫ (x⁴  – 2x²  + 1 ) dx .

Здесь подынтегральное выражение   x⁴  – 2x²  + 1   является суммой и разностью трех членов:
x⁴,   2x² и 1 .
Применяем правило 1.
I = ∫ x⁴  dx – ∫ 2x²  dx + ∫ 1 dx

Подынтегральная функция второго интеграла умножена на постоянную 2 . Применяем правило 2.
∫ 2x²  dx = 2 ∫ x²  dx

Интеграл от единицы, ∫ 1 dx можно записать, как и во всех формулах, опустив множитель 1 :
∫ 1 dx ≡ ∫  dx .

Тогда
(2.1)   I = ∫ x⁴  dx – 2 ∫ x²  dx + ∫  dx .

Теперь применим формулу из таблицы интегралов
∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1 .
Подставим в нее n = 4 :
∫ x⁴  dx = 14 + 1 x^4 + 1  = 15 x⁵ .
Подставим n = 2 :
∫ x²  dx = 12 + 1 x^2 + 1  = 13 x³ .
Подставим n = 0 :
∫ dx ≡ ∫ 1 dx ≡ ∫ x⁰  dx = 10 + 1 x^0 + 1  = x¹  ≡ x .

Подставляем найденные интегралы в (2.1).
I = 15 x⁵  – 2 ⋅ 13 x³  + x = 15 x⁵  – 23 x³  + x
Прибавим постоянную интегрирования в ответ.

Ответ

I = 15 x⁵  – 23 x³  + x + C

Похожие примеры вычисления неопределенных интегралов от степеней

Здесь мы применяем формулы и свойства степенных функций.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл
∫ (x + 1 )²√ x   dx .

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию.
(x + 1)² = x² + 2x + 1 ;
√ x  ≡ x¹² ;
1√ x  ≡ x^– 12 ;
(x + 1 )²√ x  = (x²  + 2x + 1 ) ⋅ x^– 12  = x^2 – 12  + 2x^1 – 12  + x^– 12  = x³²  + 2x¹²  + x^– 12 .

Интегрируем, применяя формулу из таблицы интегралов
∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1 .
I = ∫ (x + 1 )²√ x   dx = ∫ x³²  dx + 2 ∫ x¹²  dx + ∫ x^– 12  dx =
 132 + 1 x^32 + 1  + 2 112 + 1 x^12 + 1  + 1– 12 + 1 x^{– 12 + 1} .
32 + 1 = 32 + 22 = 52 ;
12 + 1 = 12 + 22 = 32 ;
– 12 + 1 = – 12 + 22 = 12 .
I = 25 x⁵²  + 2 ⋅ 23 x³²  + 2x¹²  = 25 x^2 + 12  + 43 x^1 + 12  + 2x¹²  = 25 x² x¹²  + 43 xx¹²  + 2x¹²  =
 ( 25 x²  + 43 x + 2  )x¹² .

Ответ

I = ( 25 x²  + 43 x + 2  ) √ x  + C

Пример 4

Найти неопределенный интеграл
∫ √ x √ x √ x     dx .

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию, используя свойства степенной функции.
x √ x  = x¹  ⋅ x¹²  = x^1 + 12  = x³² ;
√ x √ x   = ( x³²  )¹²  = x^{32 ⋅ 12}  = x³⁴ ;
x √ x √ x   = x¹  ⋅ x³⁴  = x^1 + 34  = x⁷⁴ ;
√ x √ x √ x    = ( x⁷⁴  )¹²  = x^{74 ⋅ 12}  = x⁷⁸ .

Интегрируем, применяя формулу из таблицы интегралов
∫ xⁿ  dx = 1n + 1 x^n + 1 .
I = ∫ √ x √ x √ x     dx = ∫ x⁷⁸  dx = 178 + 1 x^78 + 1 ;
78 + 1 = 78 + 88 = 158 ;
I = 815 x¹⁵⁸ .

Ответ

I = 815 x¹⁵⁸  + C .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-09-2015