Примеры решений интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Подробно рассмотрены примеры решений интегралов по частям, подынтегральное выражение которых содержит логарифм, арксинус, арктангенс, а также логарифм в целой степени и логарифм от многочлена.

Формула интегрирования по частям

Ниже, при решении примеров, применяется формула интегрирования по частям:
∫ u dv = uv – ∫ v du ;
∫ u(x )v^′(x ) dx = ∫ u(x ) d v(x ) = u(x )v(x ) – ∫ v(x )u^′(x ) dx .
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции

Вот примеры интегралов, которые интегрируются по частям:
∫ x² ln x dx   ∫ x ln² x dx   ∫ x ln (x²  – 1 ) dx   ∫ ln (x²  – x + 1 )x²  dx ,   ∫ x arcsin x dx(1 – x² ) √ 1 – x²    ∫ x⁷ arctg x dx   ∫ arcsin xx²  dx

При интегрировании ту часть подынтегрального выражения, которая содержит логарифм или обратные тригонометрические функции обозначают через u , остальное – через dv .

Ниже приведены примеры с подробными решениями этих интегралов.

Простой пример с логарифмом

Вычислим интеграл, содержащий произведение многочлена и логарифма:
∫ x² ln x dx

Решение

Здесь подынтегральное выражение содержит логарифм. Делаем подстановки
u = ln x , dv = x² dx . Тогда
du = d ln xdx dx = (ln x )^′dx = dxx ,
v = ∫ x² dx = 12 + 1 x^2 + 1  = 13 x³ .

Интегрируем по частям.
I = ∫ x² ln x dx = ∫ ln x ⋅ x²  dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du = ln x ⋅ 13 x³  – ∫ 13 x³ dxx = x³3 ln x – 13 ∫ x²  dx .

Вычисляем оставшийся интеграл:
∫ x²  dx = 12 + 1 x^2 + 1  = 13 x³ .
Тогда
I = x³3 ln x – 13 ∫ x²  dx = x³3 ln x – 19 x³ .
В конце вычислений добавим постоянную C .

Ответ

I = x³3 ln x – 19 x³  + C

Пример логарифма в степени 2

Рассмотрим пример, в котором в подынтегральное выражение входит логарифм в целочисленной степени. Такие интегралы также могут интегрироваться по частям.
∫ x ln² x dx

Решение

Делаем подстановки
u = (ln x)² , dv = x dx . Тогда
du = ( (ln x )²  )^′dx = 2 ln x (ln x )^′dx = 2 ln x dxx ,
v = ∫ x dx = ∫ x¹  dx = 11 + 1 x^1 + 1  = 12 x² .

I = ∫ (ln x )²  ⋅ x dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du = (ln x )²  ⋅ 12 x²  – ∫ 12 x²  2 ln x dxx = x²2 ln² x – ∫ x ln x dx .

Оставшийся интеграл также вычисляем по частям:
∫ x ln x dx = ∫ ln x ⋅ x dx = ∫ ln x ⋅ d( x²2  ) = ln x ⋅ ( x²2  ) – ∫ ( x²2  )(ln x )^′ dx = x²2 ln x – ∫ ( x²2  ) 1x  dx = x²2 ln x – 12 ∫ x dx = x²2 ln x – 14 x² .
Подставляем
I = x²2 ln² x – ∫ x ln x dx = x²2 ln² x – x²2 ln x + 14 x² .

Ответ

I = 12 x² ( ln² x – ln x + 12  ) + C

Пример, в котором аргумент логарифма является многочленом

По частям могут вычисляться интегралы, в подынтегральное выражение которого входит логарифм, аргумент которого является многочленом, рациональной или иррациональной функцией. В качестве примера, вычислим интеграл с логарифмом, аргумент которого является многочленом.
∫ x ln (x²  – 1 ) dx .

Решение

Делаем подстановки
u = ln( x² – 1) , dv = x dx .
Тогда
du = ( ln (x²  – 1 ) )^′dx = 1x²  – 1 (x²  – 1 )^′ dx = 2x dxx²  – 1 ,
v = ∫ x dx = ∫ x¹  dx = 11 + 1 x^1 + 1  = 12 x² .

I = ∫ x ln (x²  – 1 ) dx = ∫ ln (x²  – 1 ) ⋅ x dx = ∫ u dv = uv – ∫ v du = ln (x²  – 1 ) ⋅ 12 x²  – ∫ 12 x² 2x dxx²  – 1 = 12 x² ln (x²  – 1 ) – ∫ x³  dxx²  – 1 .

Вычисляем оставшийся интеграл:
∫ x³  dxx²  – 1 = ∫ (x²  – 1 + 1 )x dxx²  – 1 = ∫ x dx + ∫ x dxx²  – 1 = 12 x²  + 12 ∫ d(x²  – 1 )x²  – 1 = 12 x²  + 12 ln (x²  – 1 ) .
Мы здесь не пишем знак модуля ln |x² – 1| , поскольку подынтегральное выражение определено при x² – 1 > 0 . Подставляем
I = 12 x² ln (x²  – 1 ) – ∫ x³  dxx²  – 1 = 12 x² ln (x²  – 1 ) – 12 x²  – 12 ln (x²  – 1 ) .

Ответ

I = 12 (x²  – 1 ) ln (x²  – 1 ) – 12 x²  + C

Пример с арксинусом

Рассмотрим пример интеграла, в подынтегральное выражение которого входит арксинус.
∫ x arcsin x dx(1 – x² ) √ 1 – x²  .

Решение

Делаем подстановки
u = arcsin x ,
dv = x dx(1 – x² )³² .
Тогда
du = (arcsin x )^′ dx = dx√ 1 – x²  ,
v = ∫ x dx(1 – x² )³² = – 12 ∫ d(1 – x² )(1 – x² )³² = – 12 ∫ (1 – x² )^– 32 d(1 – x² ) = – 12 ⋅ 1– 32 + 1 ⋅ (1 – x² )^{– 32 + 1}  = (1 – x² )^– 12  = 1√ 1 – x²  .

I = ∫ x arcsin x dx(1 – x² ) √ 1 – x²  = ∫ u dv = uv – ∫ v du = arcsin x√ 1 – x²  – ∫ 1√ 1 – x²  ⋅ dx√ 1 – x²  = arcsin x√ 1 – x²  – ∫ dx1 – x² = arcsin x√ 1 – x²  + 12 ln | x – 1x + 1  |+ C .

Далее замечаем, что подынтегральное выражение определено при |x| < 1 . Раскроем знак модуля под логарифмом, учитывая что 1 – x > 0 и 1 + x > 0 .

Ответ

I = arcsin x√ 1 – x²  + 12 ln 1 – x1 + x+ C

Пример с арктангенсом

Решим пример с арктангенсом:
∫ x⁷ arctg x dx .

Решение

Интегрируем по частям.
I = ∫ x⁷ arctg x dx = ∫ arctg x ⋅ x⁷  dx = ∫ arctg x d( x⁸8  ) = arctg x ⋅ ( x⁸8  ) – 18 ∫ x⁸ (arctg x )^′ dx = x⁸8 arctg x – 18 ∫ x⁸1 + x²  dx .
Выделим целую часть дроби:
x⁸ = x⁸ + x⁶ – x⁶ – x⁴ + x⁴ + x² – x² – 1 + 1 = (x² + 1)(x⁶ – x⁴ + x² – 1) + 1 ;
x⁸1 + x² = x⁶  – x⁴  + x²  – 1 + 11 + x² .
Интегрируем:
∫ x⁸1 + x²  dx = x⁷7 – x⁵5 + x³3 – x + arctg x .
Окончательно имеем:
I = x⁸8 arctg x – 18 ∫ x⁸1 + x²  dx = x⁸8 arctg x – x⁷8 ⋅ 7 + x⁵8 ⋅ 5 – x³8 ⋅ 3 + x8 – 18 arctg x + C .

Ответ

I = 18 (x⁸  – 1 ) arctg x – x⁷56 + x⁵40 – x³24 + x8 + C

Еще один пример с арксинусом

Решить интеграл:
∫ arcsin xx²  dx .

Решение

Интегрируем по частям.
I = ∫ arcsin xx²  dx = ∫ arcsin x ⋅ x^– 2  dx = ∫ arcsin x d( – x^– 1  ) = arcsin x ⋅ ( – x^– 1  ) – ∫ ( – x^– 1  )(arcsin x )^′ dx = – 1x arcsin x – ∫ ( – x^– 1  ) 1√ 1 – x²   dx = – 1x arcsin x + ∫ dxx  √ 1 – x²  .

Вычисляем оставшийся интеграл. При x > 0 имеем:
√ 1 – x²  = √ x² (x^– 2  – 1 )  =  | x | √ x^– 2  – 1  = x √ x^– 2  – 1  .
∫ dxx  √ 1 – x²  = ∫ dxx²  √ x^– 2  – 1  = – ∫ d( x^– 1  )√ (x^– 1 )²  – 1  = – ln  | x^– 1  + √ (x^– 1 )²  – 1   | = – ln  | 1 + √ 1 – x² x  | = – ln  1 + √ 1 – x² x .
I = – 1x arcsin x – ln  1 + √ 1 – x² x .

При x < 0 сделаем подстановку x = – t,   t > 0 :
I = ∫ arcsin xx²  dx = ∫ arcsin (– t )(– t )²  d(– t ) = ∫ arcsin tt²  dt = – 1t arcsin t – ln  1 + √ 1 – t² t = – 1– x arcsin (– x ) – ln  1 + √ 1 – (– x )² – x = – 1x arcsin x – ln  1 + √ 1 – x² – x .

Окончательно имеем:

Ответ

I = – 1x arcsin x – ln  1 + √ 1 – x²  | x |  + C .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-10-2014