Интегрирование произведения степенных функций от sin x и cos x

Показано, что интеграл от произведения степенных функций от sin x и cos x можно привести к интегралу от дифференциального бинома. При целых значениях показателей степени, такие интегралы легко вычисляются по частям или с помощью формул приведения. Дан вывод формул приведения. Приводится пример вычисления такого интеграла.

Приведение к интегралу от дифференциального бинома

Рассмотрим интегралы вида:
I_m, n  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx

Такие интегралы сводятся к интегралу от дифференциального бинома одной из подстановок t = sin x или t = cos x .

Продемонстрируем это, выполнив подстановку
t = sin x .
Тогда
dt = (sin x)′ dx = cos x dx ;
cos² x = 1 – sin² x = 1 – t ² ;
I_m,n  = ∫ sin^m x ( cos² x  )^n – 12 cos x dx = ∫ t^m ( 1 – t²  )^n – 12  dt

Если m и n – рациональные числа, то следует применять методы интегрирования дифференциального бинома.
Подробнее >>>

Интегрирование с целыми m и n

Далее, рассмотрим случай, когда m и n – целые числа (не обязательно положительные). В этом случае, подынтегральное выражение является рациональной функцией от sin x и cos x . Поэтому можно применить правила, представленные в разделе «Интегрирование тригонометрических рациональных функций».
Подробнее >>>

Однако, учитывая специфические особенности, проще воспользоваться формулами приведения, которые легко получаются интегрированием по частям.

Формулы приведения

Формулы приведения для интеграла
I_m, n  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx
имеют вид:

(m + n )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n} ;
(m + n )I_m, n  = sin^m + 1 x  cos^n – 1 x + (n – 1 )I_{m, n – 2} ;
(n + 1 )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n + 2} ;
(m + 1 )I_m, n  = sin^m + 1 x  cos^n – 1 x + (n – 1 )I_{m + 2, n – 2} .

Их нет необходимости запоминать, поскольку они легко получаются интегрированием по частям.

Доказательство формул приведения

I_m, n  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx = ∫ sin^m – 1 x cosⁿ x sin x dx = – ∫ sin^m – 1 xcos^m – 1 x cos^{m + n – 1} x d cos x = – ∫ tg^m – 1x cos^{m + n – 1} x d cos x = – 1m + n ∫ tg^m – 1x d cos^m + n x
Интегрируем по частям. v = cos^m + n x,  u = tg^m – 1 x,
du = ( tg^m – 1 x  )^′ dx = (m – 1 ) tg^m – 2x (tg x )^′ dx = (m – 1 ) tg^m – 2 xcos² x  dx = (m – 1 ) sin^m – 2 xcos^m x  dx
I_m, n  = – 1m + n ∫ u dv = – 1m + n [ uv – ∫ v du  ] = – 1m + n [tg^m – 1x cos^m + n x – (m – 1 ) ⋅ ∫ cos^m + n x sin^m – 2 xcos^m x  dx]= – 1m + n [sin^m – 1 x cos^n + 1 x – (m – 1 )I_{m – 2, n} ]
Умножая на m + n , получаем первую формулу:
(m + n )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n}

Аналогично получаем вторую формулу.
I_m, n  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx = ∫ sin^m x cos^n – 1 x cos x dx = ∫ cos^n – 1 xsin^n – 1 x sin^{m + n – 1} x d sin x = ∫ ctg^n – 1x sin^{m + n – 1} x d sin x = 1m + n ∫ ctg^n – 1x d sin^m + n x
Интегрируем по частям. v = sin^m + n x,  u = ctg^n – 1 x,
du = ( ctg^n – 1 x  )^′ dx = (n – 1 ) ctg^n – 2x (ctg x )^′ dx = – (n – 1 ) ctg^n – 2 xsin² x  dx = – (n – 1 ) cos^n – 2 xsinⁿ x  dx
I_m, n  = 1m + n ∫ u dv = 1m + n [ uv – ∫ v du  ] = 1m + n [ctg^n – 1x sin^m + n x + (n – 1 ) ⋅ ∫ sin^m + n x cos^n – 2 xsinⁿ x  dx]= 1m + n [cos^n – 1 x sin^m + 1 x + (n – 1 )I_{m, n – 2} ]
Умножая на m + n , получаем вторую формулу:
(m + n )I_m, n  = sin^m + 1 x  cos^n – 1 x + (n – 1 )I_{m, n – 2}

Третья формула.
I_m, n  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx = ∫ sin^m – 1 x cosⁿ x sin x dx = – ∫ sin^m – 1 x cosⁿ x d cos x = – 1n + 1 ∫ sin^m – 1 x d cos^n + 1 x
Интегрируем по частям. v = cos^n + 1 x,  u = sin^m – 1 x,
du = ( sin^m – 1 x  )^′ dx = (m – 1 ) sin^m – 2 x (sin x )^′ dx = (m – 1 ) sin^m – 2 x cos x dx
I_m, n  = – 1n + 1 ∫ u dv = – 1n + 1 [ uv – ∫ v du  ] = – 1n + 1 [sin^m – 1 x cos^n + 1 x – (m – 1 ) ⋅ ∫ cos^n + 1 x sin^m – 2 x cos x dx]= – 1n + 1 [sin^m – 1 x cos^n + 1 x – (m – 1 )I_{m – 2, n + 2} ]
Умножая на n + 1 , получаем третью формулу:
(n + 1 )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n + 2}

Аналогично, для четвертой формулы.
I_m, n  = ∫ sin^m x cosⁿ x dx = ∫ cos^n – 1 x sin^m x cos x dx = ∫ cos^n – 1 x sin^m x d sin x = 1m + 1 ∫ cos^n – 1 x d sin^m + 1 x
Интегрируем по частям. v = sin^m + 1 x,  u = cos^n – 1 x,
du = ( cos^n – 1 x  )^′ dx = (n – 1 ) cos^n – 2 x (cos x )^′ dx = – (n – 1 ) cos^n – 2 x sin x dx
I_m, n  = 1m + 1 ∫ u dv = 1m + 1 [ uv – ∫ v du  ] = 1m + 1 [cos^n – 1 x sin^m + 1 x + (n – 1 ) ⋅ ∫ sin^m + 1 x cos^n – 2 x sin x dx]= 1m + 1 [cos^n – 1 x sin^m + 1 x + (n – 1 )I_{m + 2, n – 2} ]
Умножая на m + 1 , получаем четвертую формулу:
(m + 1 )I_m, n  = sin^m + 1 x  cos^n – 1 x + (n – 1 )I_{m + 2, n – 2}

Пример

Вычислим интеграл:
∫ sin¹⁰ xcos⁴ x  dx

Решение

Преобразуем:
I = ∫ sin¹⁰ xcos⁴ x  dx = ∫ sin¹⁰ x cos^– 4 x dx = I_{10,  – 4}
Здесь m = 10, n = – 4 .

Применяем формулу приведения:
(n + 1 )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n + 2}
При m = 10, n = – 4 :
– 3I_{10,  – 4}  = – sin⁹ x  cos^– 3 x + 9I_{8,  – 2}
При m = 8, n = – 2 :
– I_{8,  – 2}  = – sin⁷ x  cos^– 1 x + 7I_6, 0

Применяем формулу приведения:
(m + n )I_m, n  = – sin^m – 1 x  cos^n + 1 x + (m – 1 )I_{m – 2, n}
При m = 6, n = – 0 :
6I_6, 0  = – sin⁵ x  cos¹ x + 5I_4, 0
При m = 4, n = – 0 :
4I_4, 0  = – sin³ x  cos¹ x + 3I_2, 0
При m = 2, n = – 0 :
2I_2, 0  = – sin¹ x  cos¹ x + I_0, 0

Вычисляем оставшийся интеграл:
I_0, 0  = ∫ (sin x )⁰ (cos x )⁰  dx = ∫  dx = x

Собираем промежуточные результаты в одну формулу.
I = I_{10,  – 4}  = – 13 (– sin⁹ x  cos^– 3 x – 9(– sin⁷ x  cos^– 1 x + 76 (– sin⁵ x  cos¹ x + 54 (– sin³ x  cos¹ x + 32 (– sin¹ x  cos¹ x + x ))))) = 13 sin⁹ x  cos^– 3 x – 93 sin⁷ x  cos^– 1 x – 9 ⋅ 73 ⋅ 6 sin⁵ x  cos x – 9 ⋅ 7 ⋅ 53 ⋅ 6 ⋅ 4 sin³ x  cos x – 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 33 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 sin x  cos x + 9 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 33 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 x = sin⁹ x3 cos³ x – 3 sin⁷ xcos x – 72 sin⁵ x  cos x – 358 sin³ x  cos x – 10516 sin x  cos x + 10516 x

Ответ

I = sin⁹ x3 cos³ x – 3 sin⁷ xcos x – 72 sin⁵ x  cos x – 358 sin³ x  cos x – 10516 sin x  cos x + 10516 x + C

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 04-11-2014