Вычисление интегралов от многочлена дробь квадратный корень из квадратного трехчлена

Рассмотрен метод вычисления интеграла от дроби, в числителе которой находится многочлен, а в знаменателе – квадратный корень из трехчлена. Наиболее простым методом вычисления таких интегралов является метод неопределенных коэффициентов. Приведено доказательство применимости этого метода. Разобран пример вычисления такого интеграла.

Метод неопределенных коэффициентов

Рассмотрим интеграл из дроби, в числителе которой стоит многочлен степени n , а в знаменателе - квадратный корень из квадратного трехчлена:
∫ P_n (x ) dx√ ax²  + bx + c 

Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
∫ P_n (x ) dx√ ax²  + bx + c  = (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅ √ ax²  + bx + c  + A_n + 1 ∫ dx√ ax²  + bx + c 
Для нахождения коэффициентов A_i , нужно продифференцировать это уравнение и приравнять левую и правую части.

Доказательство

Для доказательства, продифференцируем это уравнение. Сначала получим выражения для некоторых производных, входящих в уравнение.
( ∫ P_n (x ) dx√ ax²  + bx + c   )^′ = P_n (x )√ ax²  + bx + c 
( ∫ dx√ ax²  + bx + c   )^′ = 1√ ax²  + bx + c 
( √ ax²  + bx + c   )^′ = ( ( ax²  + bx + c  )¹²  )^′ = 12 ( ax²  + bx + c  )^12 – 1  ⋅ (ax²  + bx + c )^′ =
12 ( ax²  + bx + c  )^– 12  ⋅ (2ax + b ) = ax + b / 2√ ax²  + bx + c 
( (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅    √ ax²  + bx + c   )^′ =
(A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n )^′ ⋅ √ ax²  + bx + c  +
 (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅ ( √ ax²  + bx + c   )^′ =
(A₁ (n – 1 ) x^n – 2  + A₂ (n – 2 ) x^n – 3  + ... + A_n – 1 ) ⋅ ax²  + bx + c√ ax²  + bx + c  +
 (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅ ax + b / 2√ ax²  + bx + c  =
1√ ax²  + bx + c  ⋅ [(A₁ (n – 1 ) x^n – 2  + A₂ (n – 2 ) x^n – 3  + ...  + A_n – 1 ) ⋅ (ax²  + bx + c ) +
(A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅ (ax + b / 2 )]

Дифференцируем все уравнение.
( ∫ P_n (x ) dx√ ax²  + bx + c   )^′ = ( (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅    √ ax²  + bx + c   )^′ +
 A_n + 1 ( ∫ dx√ ax²  + bx + c   )^′
Подставляем полученные ранее формулы.
P_n (x )√ ax²  + bx + c  =
 1√ ax²  + bx + c  ⋅ [(A₁ (n – 1 ) x^n – 2  + A₂ (n – 2 ) x^n – 3  + ...  + A_n – 1 ) ⋅ (ax²  + bx + c ) +
 (A₁ x^n – 1  + A₂ x^n – 2  + ...  + A_n ) ⋅ (ax + b / 2 )]+ A_n + 1√ ax²  + bx + c 
Умножаем на √ ax²  + bx + c  , раскрываем скобки и представим многочлен P_n (x)в явном виде.

P_n (x ) = p_n xⁿ  + p_n – 1 x^n – 1  +  ...  p₁ x + p₀  =
 (A₁ (n – 1 )a + A₁ a ) xⁿ  +
 (A₁ (n – 1 )b + A₂ (n – 2 )a + A₁ b / 2 + A₂ a ) x^n – 1  +
 (A₁ (n – 1 )c + A₂ (n – 2 )b + A₃ (n – 3 )a + A₂ b / 2 + A₃ a ) x^n – 2  +
  . . . . . . . +
 (A_n – 2 c + A_n – 1 b + A_n – 1 b / 2 + A_n a ) x +
 A_n – 1 c + A_n b / 2 + A_n + 1

Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений.
naA₁  = p_n
(n – 1 / 2 )bA₁  + (n – 1 )aA₂  = p_n – 1
(n – 1 )cA₁  + (n – 3 / 2 )bA₂  + (n – 2 )aA₃  = p_n – 2
  . . . . . . .
cA_n – 2  + (3b / 2 )A_n – 1  + aA_n  = p₁
cA_n – 1  + (b / 2 )A_n  + A_n + 1  = p₀

Отсюда видно, что система имеет решение, поскольку из первого уравнения можно определить A₁ , из второго – A₂ , и так далее.

Вычисление интеграла dx дробь квадратный корень из квадратного трехчлена

Применение метода, изложенного в данной странице, приводит к вычислению интеграла вида:
I = ∫ dx√ ax²  + bx + c 
Для его вычисления нужно выполнить преобразование:
ax²  + bx + c = a( x²  + ba x + ca  ) = a( x²  + 2 b2a x +    ( b2a  )²  – ( b2a  )²  + ca  ) =
a( ( x + b2a  )²  – ( b2a  )²  + ca  )
После чего подстановкой
t = x + b2a ,
в зависимости от значений постоянных a, b, c , он приводится к одному из табличных интегралов:
I = 1√ a  ∫ dt√ t²  ± s²  = 1√ a  ln | t + √ t²  ± s²   |
I = 1√ – a  ∫ dt√ s²  – t²  = 1√ – a  arcsin ts

Пример

Вычислить интеграл:
I = ∫ (x²  + 1 ) dx√ – x²  + 3x – 2 

Решение

Ищем решение в виде:
I = ∫ (x²  + 1 ) dx√ – x²  + 3x – 2  = (Ax + B ) √ – x²  + 3x – 2  + D ∫ dx√ – x²  + 3x – 2 
где A, B, D – постоянные. Для их определения, дифференцируем обе части уравнения.

Выполняем вспомогательные вычисления.
( √ – x²  + 3x – 2   )^′ = ( (– x²  + 3x – 2 )¹²  )^′ = 12 (– x²  + 3x – 2 )^12 – 1 (– x²  + 3x – 2 )^′ =
 12 (– x²  + 3x – 2 )^– 12 (– 2x + 3 ) = – x + 3 / 2√ – x²  + 3x – 2  ;
( (Ax + B ) √ – x²  + 3x – 2   )^′ =
 (Ax + B )^′ √ – x²  + 3x – 2  + (Ax + B )( √ – x²  + 3x – 2   )^′ =
A – x²  + 3x – 2√ – x²  + 3x – 2  + (Ax + B ) – x + 3 / 2√ – x²  + 3x – 2  =
 1√ – x²  + 3x – 2  ⋅ (A(– x²  + 3x – 2 ) + (Ax + B )(– x + 3 / 2 )) =
 1√ – x²  + 3x – 2  ⋅ (– 2Ax²  + ((9 / 2 )A – B )x – 2A + (3 / 2 )B ) .

Дифференцируем все уравнение.
( ∫ (x²  + 1 ) dx√ – x²  + 3x – 2   )^′ =
 ( (Ax + B ) √ – x²  + 3x – 2   )^′ + D( ∫ dx√ – x²  + 3x – 2   )^′ ;
(x²  + 1 )√ – x²  + 3x – 2  = 1√ – x²  + 3x – 2  ⋅ (– 2Ax²  + ((9 / 2 )A – B )x – 2A + (3 / 2 )B ) +  D√ – x²  + 3x – 2  .
Умножаем на √ – x²  + 3x – 2  .
x²  + 1 = – 2A x²  + ((9 / 2 )A – B ) x – 2A + (3 / 2 )B + D .
Отсюда
– 2A = 1 ;   (9/2)A – B = 0 ;   – 2A + (3/2)B + D = 1 .
A = – 12 ;   B = 92 A = – 94 ;   D = 1 + 2A – 32 B = 1 – 1 + 278 = 278 .

Вычисляем оставшийся интеграл. Для этого преобразуем трехчлен под знаком квадратного корня и интегрируем.
– x²  + 3x – 2 = – ( x²  – 2 ⋅ 32 x + ( 32  )²  ) + ( 32  )²  – 2 = – ( x – 32  )²  + 94 – 84 =
 ( 12  )²  – ( x – 32  )² ;
∫ dx√ – x²  + 3x – 2  = ∫d( x – 32  )√ ( 12  )²  – ( x – 32  )²  = arcsin x – 3212 = arcsin (2x – 3 ) .

Окончательно имеем:
I = ∫ (x²  + 1 ) dx√ – x²  + 3x – 2  = (Ax + B ) √ – x²  + 3x – 2  + D ∫ dx√ – x²  + 3x – 2  =
 ( – 12 x – 94  ) √ – x²  + 3x – 2  + 278 arcsin (2x – 3 )

Ответ

I = – 14 (2x + 9 ) √ – x²  + 3x – 2  + 278 arcsin (2x – 3 ) + C

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-01-2015