Основные формулы и методы интегрирования
Методы интегрирования
Ниже перечислены четыре основных метода интегрирования.
1) Правило интегрирования суммы или разности.
.
Здесь и далее u, v, w – функции от переменной интегрирования x.
2) Вынесение постоянной за знак интеграла.
Пусть c – постоянная, не зависящая от x. Тогда ее можно вынести за знак интеграла.
См. подробнее: Вычисление интегралов от многочленов >>>
3) Метод замены переменной.
Рассмотрим неопределенный интеграл .
Если удастся подобрать такую функцию φ(x) от x, так что
,
то, выполнив замену переменной t = φ(x), имеем
.
См. подробнее: Интегрирование методом замены переменной >>>
4) Формула интегрирования по частям.
,
где u и v – это функции от переменной интегрирования.
См. подробнее: Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям >>>
Конечная цель вычисления неопределенных интегралов – это, путем преобразований, привести заданный интеграл к простейшим интегралам, которые называются табличными. Табличные интегралы выражаются через элементарные функции по известным формулам.
См. Таблица интегралов >>>
Пример
Все примеры Вычислить неопределенный интеграл
Решение
Замечаем, что подынтегральная функция является суммой и разностью трех членов:
, и .
Применяем метод 1.
Далее замечаем, что подынтегральные функции новых интегралов умножены на постоянные 5, 4, и 2, соответственно. Применяем метод 2.
В таблице интегралов находим формулу
.
Полагая n = 2, находим первый интеграл.
Перепишем второй интеграл в виде
.
Замечаем, что . Тогда
Применяем третий метод. Делаем замену переменной t = φ(x) = ln x.
.
В таблице интегралов находим формулу
Поскольку переменная интегрирования может обозначаться любой буквой, то
Перепишем третий интеграл в виде
.
Применяем формулу интегрирования по частям.
Положим .
Тогда
;
;
;
;
.
Окончательно имеем
.
Соберем члены с x3.
.
Ответ
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: