Интегрирование дробно-линейной иррациональности

Показано, что интегралы с дробно-линейной иррациональностью (то есть содержащие корни от дробно-линейной функции) сводятся к интегрированию рациональных функций. Разобраны примеры вычисления интегралов с корнями из дробно-линейной функции.

Рассмотрим интегралы с корнем от дробно-линейной функции:
(1)   ∫R( x,  ⁿ√ αx + βγx + δ   ) dx ,
где R – рациональная функция своих аргументов. То есть функция, составленная из входящих в нее аргументов и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения и деления (возведения в целочисленную степень).

Примеры рассматриваемых интегралов с дробно-линейной иррациональностью

Ниже показаны примеры решений следующих интегралов:
∫ x dx√ x + 1  – ³√ x + 1    ∫ dx³√ (x – 1 )⁷ (x + 1 )² 

Приведем примеры интегралов с корнями вида (1).

Пример 1

∫ x dx√ x + 1  – ³√ x + 1 

Хотя здесь под знаком интеграла входят корни различных степеней, но подынтегральное выражение можно преобразовать следующим образом:
√ x + 1  = (x + 1 )¹²  = (x + 1 )³⁶  = ( ⁶√ x + 1   )³ ;
³√ x + 1  = (x + 1 )¹³  = (x + 1 )²⁶  = ( ⁶√ x + 1   )² ;
x√ x + 1  – ³√ x + 1  = x( ⁶√ x + 1   )³  – ( ⁶√ x + 1   )² .

Таким образом, подынтегральное выражение составлено из переменной интегрирования x и корня от линейной функции   ⁶√ x + 1    с помощью конечного числа операций вычитания, деления и умножения. Поэтому оно является рациональной функцией от x и   ⁶√ x + 1    и принадлежит рассматриваемому типу (1) со значениями постоянных n = 6 , α = β = δ = 1 , γ = 0 :
x√ x + 1  – ³√ x + 1  = R( x,  ⁶√ 1 ⋅ x + 10 ⋅ x + 1   ) .

Пример 2

∫ dx³√ (x – 1 )⁷ (x + 1 )² 

Здесь мы выполняем преобразование:
³√ (x – 1 )⁷ (x + 1 )²  = ³√ (x – 1 )⁹ (x + 1 )²(x – 1 )²  = (x – 1 )³ ( ³√ x + 1x – 1   )² .
Отсюда видно, что подынтегральное выражение является рациональной функцией от x и   ³√ x + 1x – 1  . Поэтому принадлежит рассматриваемому типу.

Общий пример дробно-линейной иррациональности

В более общем случае, в подынтегральное выражение может входить любое конечное число корней от одной и той же дробно-линейной функции:
(2)   ∫R( x, ( αx + βγx + δ  )^r₁ , ( αx + βγx + δ  )^r₂    ,..., ( αx + βγx + δ  )^r_s  )dx ,
где R – рациональная функция своих аргументов,
r₁  = m₁n₁ ,..., r_s  = m_sn_s   – рациональные числа,
m₁, n₁, ..., m_s, n_s – целые числа.
Действительно, пусть n – общий знаменатель чисел r₁, ..., r_s . Тогда их можно представить в виде:
r₁  = k₁n , r₂  = k₂n ,..., r_s  = k_sn ,
где k₁, k₂, ..., k_s – целые числа. Тогда все входящие в (2) корни являются степенями от   ⁿ√ αx + βγx + δ  :
( αx + βγx + δ  )^r₁  = ( αx + βγx + δ  )^k₁n  = ( ⁿ√ αx + βγx + δ   )^k₁ ,
( αx + βγx + δ  )^r₂  = ( αx + βγx + δ  )^k₂n  = ( ⁿ√ αx + βγx + δ   )^k₂ ,
. . . . .
( αx + βγx + δ  )^r_s  = ( αx + βγx + δ  )^k_sn  = ( ⁿ√ αx + βγx + δ   )^k_s .

То есть все подынтегральное выражение (2) составлено из x и корня   ⁿ√ αx + βγx + δ    с помощью конечного числа операций сложения, умножения и деления. Поэтому оно является рациональной функцией от x и   ⁿ√ αx + βγx + δ  :
∫R( x,  ⁿ√ αx + βγx + δ   ) dx .

Метод интегрирования корней

Интеграл с дробно-линейной иррациональностью
(1)   ∫R( x,  ⁿ√ αx + βγx + δ   ) dx
сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой
(3)   tⁿ  = αx + βγx + δ .

Доказательство

Извлекаем корень степени n из обеих частей (3):
ⁿ√ αx + βγx + δ  = t .

Преобразуем (3):
(γx + δ )tⁿ  = αx + β ;
(γtⁿ  – α )x = β – δtⁿ ;
x = β – δ tⁿγ tⁿ  – α .

Находим производную:
dxdtⁿ = 1(γ tⁿ  – α )² ⋅ [ (β – δ tⁿ )^′_tⁿ (γ tⁿ  – α ) –    (β – δ tⁿ )(γ tⁿ  – α )^′_tⁿ  ] =
 1(γ tⁿ  – α )² ⋅ [ – δ(γ tⁿ  – α ) – (β – δ tⁿ )γ  ] = αδ – βγ(γ tⁿ  – α )² ;
dtⁿdt = nt^n – 1 ;
dxdt = dxdtⁿ ⋅ dtⁿdt = αδ – βγ(γ tⁿ  – α )² ⋅ nt^n – 1 .
Дифференциал:
dx = dxdt  dt = n(αδ – βγ )t^n – 1(γ tⁿ  – α )²  dt .

Подставляем в (1):
∫R( x,  ⁿ√ αx + βγx + δ   ) dx = ∫R( β – δ tⁿγ tⁿ  – α ,  t  ) ⋅ n(αδ – βγ )t^n – 1(γ tⁿ  – α )²  dt .

Отсюда видно, что подынтегральная функция составлена из постоянных и переменной интегрирования t с помощью конечного числа операций сложения (вычитания), умножения (возведения в целочисленную степень) и деления. Поэтому подынтегральное выражение является рациональной функцией от переменной интегрирования. Таким образом, вычисление интеграла свелось к интегрированию рациональной функции. Что и требовалось доказать.

Пример интегрирования линейной иррациональности

Найти интеграл:
I = ∫ x dx√ x + 1  – ³√ x + 1 

Решение

Поскольку в интеграл входят корни от одной и той же (дробно) линейной функции x + 1 , и подынтегральное выражение образовано с помощью операций вычитания и деления, то данный интеграл принадлежит рассматриваемому типу.

Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы в него входили корни одной степени:
√ x + 1  = (x + 1 )¹²  = (x + 1 )³⁶  = ( ⁶√ x + 1   )³ ;
³√ x + 1  = (x + 1 )¹³  = (x + 1 )²⁶  = ( ⁶√ x + 1   )² ;
x√ x + 1  – ³√ x + 1  = x( ⁶√ x + 1   )³  – ( ⁶√ x + 1   )² .

Делаем подстановку
x + 1 = t ⁶ .
Берем дифференциал:
d(x + 1) = dx = ( t ⁶ )′ dt = 6 t ⁵ dt  .
Подставляем:
x = t ⁶ – 1 ;
√ x + 1  = (x + 1 )¹²  = t⁶²  = t³ ;
³√ x + 1  = (x + 1 )¹³  = t⁶³  = t² ;
I = ∫ x dx√ x + 1  – ³√ x + 1  = ∫ (t⁶  – 1 )6t⁵  dtt³  – t² = 6 ∫ (t⁶  – 1 )t³  dtt – 1 .
Выделяем целую часть дроби, замечая что
t ⁶ – 1 = (t – 1)(t ⁵ + t ⁴ + t ³ + t ² + t + 1 )  .
Тогда
I = 6 ∫ (t⁵  + t⁴  + t³  + t²  + t + 1 )t³  dt = 6 ∫ (t⁸  + t⁷  + t⁶  + t⁵  + t⁴  + t³ ) dt =
 6( 19 t⁹  + 18 t⁸  + 17 t⁷  + 16 t⁶  +    15 t⁵  + 14 t⁴  ) .

Ответ

I = 6( 19 t⁹  + 18 t⁸  + 17 t⁷  + 16 t⁶  +    15 t⁵  + 14 t⁴  ) + C ,
где   t = ⁶√ x + 1  .

Пример интегрирования дробно-линейной иррациональности

Найти интеграл
∫ dx³√ (x – 1 )⁷ (x + 1 )² 

Решение

Выделим корень из дробно-линейной функции:
³√ (x – 1 )⁷ (x + 1 )²  = ³√ (x – 1 )⁹ (x + 1 )²(x – 1 )²  = (x – 1 )³ ( x + 1x – 1  )²³ .
Тогда
I = ∫ dx(x – 1 )³ ( x + 1x – 1  )²³ .
Делаем подстановку
x + 1x – 1 = t³ .
Берем дифференциал
( x + 1x – 1  )^′ dx = ( t³  )^′ dt = 3t²  dt .
Находим производную
( x + 1x – 1  )^′ = (x + 1 )^′(x – 1 ) – (x + 1 )(x – 1 )^′(x – 1 )² = x – 1 – (x + 1 )(x – 1 )² = – 2(x – 1 )² .
Тогда
– 2 dx(x – 1 )² = 3t²  dt .
Далее замечаем, что
2x – 1 = x + 1 – (x – 1 )(x – 1 ) = x + 1(x – 1 ) – 1 = t³  – 1 .
Подставляем в подынтегральное выражение
I = ∫ dx(x – 1 )³ ( x + 1x – 1  )²³ = – 14 ∫ 2 ⋅ (– 2 ) dx(x – 1 )(x – 1 )² t² =
 – 14 ∫ (t³  – 1 ) 3t²  dtt² = – 34 ∫ (t³  – 1 ) dt = – 34 ( t⁴4 – t  ) =
 – 316 t(t³  – 4 ) = – 316 ³√ x + 1x – 1  ( x + 1x – 1 – 4x – 4x – 1  ) = 316 ⋅ 3x – 5x – 1 ⋅ ³√ x + 1x – 1  .

Ответ

I = 316 ⋅ 3x – 5x – 1 ⋅ ³√ x + 1x – 1  + C .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 15-12-2014