Примеры разложения многочленов на множители

Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.

Здесь рассмотрены следующие примеры разложения многочленов на множители:
x⁴  + x³  – 6x²   x³  + 6x²  + 9x   x⁵  – 2x⁴  + 10x³   x⁴  + x²  – 20   x⁸  + x⁴  + 1   x⁵  – 2x⁴  + x³  + x²  – 2x + 1   x³  – 6x²  + 11x – 6   x⁴  + 2x³  + 3x²  + 4x + 2
См. также Примеры решений неопределенных интегралов

Примеры с решением квадратного уравнения

Пример 1.1

Разложить многочлен на множители:
x⁴  + x³  – 6x² .

Решение

Выносим x² за скобки:
x⁴  + x³  – 6x²  = x² (x²  + x – 6 ) .
Решаем квадратное уравнение x² + x – 6 = 0 :
x_1,2  = – 1 ± √ 1²  – 4 ⋅ (– 6 ) 2 = – 1 ± 52 .
Корни уравнения:
x₁  = – 1 – 52 = – 3 ,   x₂  = – 1 + 52 = 2 .

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
x²  + x – 6 = (x – x₁ )(x – x₂ ) = (x + 3 )(x – 2 ) .

Ответ

x⁴  + x³  – 6x²  = x² (x + 3 )(x – 2 ) .

Пример 1.2

Разложить на множители многочлен третьей степени:
x³  + 6x²  + 9x .

Решение

Выносим x за скобки:
x³  + 6x²  + 9x = x(x²  + 6x + 9 ) .
Решаем квадратное уравнение x² + 6x + 9 = 0 :
Его дискриминант:   D = 6²  – 4 ⋅ 9 = 0 .
Поскольку дискриминант равен нулю, то корни уравнения кратные: x_1,2  = – 6 ± √ D 2 = – 62 = – 3 ;
x₁  = x₂  = – 3 .

Отсюда получаем разложение многочлена на множители:
x²  + 6x + 9 = (x – x₁ )(x – x₂ ) = (x + 3 )(x + 3 ) = (x + 3 )² .

Ответ

x³  + 6x²  + 9x = x(x + 3 )² .

Пример 1.3

Разложить на множители многочлен пятой степени:
x⁵  – 2x⁴  + 10x³ .

Решение

Выносим x³ за скобки:
x⁵  – 2x⁴  + 10x³  = x³ (x²  – 2x + 10 ) .
Решаем квадратное уравнение x² – 2x + 10 = 0 .
Его дискриминант:   D = (– 2 )²  – 4 ⋅ 10 = – 36 < 0 .
Поскольку дискриминант меньше нуля, то корни уравнения комплексные: x_1,2  = 2 ± √ D 2 = 2 ± √ – 6² 2 = 2 ± 6i2 = 1 ± 3i ;
x₁  = 1 – 3i ,   x₂  = 1 + 3i .

Разложение многочлена на множители имеет вид:
x⁵  – 2x⁴  + 10x³  = x³ (x – x₁ )(x – x₂ ) = x³ (x – 1 + 3i )(x – 1 – 3i ) .

Если нас интересует разложение на множители с действительными коэффициентами, то:
x⁵  – 2x⁴  + 10x³  = x³ (x²  – 2x + 10 ) .

Ответ

x⁵  – 2x⁴  + 10x³  = x³ (x²  – 2x + 10 ) .

Примеры с биквадратными многочленами

Пример 2.1

Разложить биквадратный многочлен на множители:
x⁴  + x²  – 20 .

Решение

Применим формулы:
a² + 2ab + b² = (a + b)² ;
a² – b² = (a – b)(a + b) .
x⁴  + x²  – 20 = ( x²  )²  + 2 12 x²  + ( 12  )²  – 20 – 14 = ( x²  + 12  )²  – 814 =
 ( x²  + 12  )²  – ( 92  )²  = ( x²  + 12 – 92  )( x²  + 12 + 92  ) = (x²  – 4 )(x²  + 5 ) ;
x²  – 4 = x²  – 2²  = (x – 2 )(x + 2 ) .

Ответ

x⁴  + x²  – 20 = (x – 2 )(x + 2 )(x²  + 5 ) .

Пример 2.2

Разложить на множители многочлен, сводящийся к биквадратному:
x⁸  + x⁴  + 1 .

Решение

Применим формулы:
a² + 2ab + b² = (a + b)² ;
a² – b² = (a – b)(a + b) :
x⁸  + x⁴  + 1 = ( x⁴  )²  + 2x⁴  + 1 – x⁴  = ( x⁴  + 1  )²  – ( x²  )²  =
 (x⁴  + 1 – x² )(x⁴  + 1 + x² ) = (x⁴  – x²  + 1 )(x⁴  + x²  + 1 ) ;
x⁴  – x²  + 1 = ( x²  )²  + 2x²  + 1 – 3x²  = ( x²  + 1  )²  – ( √ 3   x  )²  =
 (x²  – √ 3   x + 1 )(x²  + √ 3   x + 1 ) ;
x⁴  + x²  + 1 = ( x²  )²  + 2x²  + 1 – x²  = ( x²  + 1  )²  – x²  = (x²  – x + 1 )(x²  + x + 1 ) .

Ответ

x⁸  + x⁴  + 1 = (x²  – √ 3   x + 1 )(x²  + √ 3   x + 1 ) ⋅ (x²  – x + 1 )(x²  + x + 1 ) .

Пример с возвратным многочленом

Разложить на множители возвратный многочлен:
P₅ (x ) = x⁵  – 2x⁴  + x³  + x²  – 2x + 1 .

Решение

Возвратный многочлен имеет нечетную степень. Поэтому он имеет корень x = –1 . Делим многочлен на x – (–1) = x + 1 . В результате получаем:
P₅ (x ) = (x + 1 )(x⁴  – 3x³  + 4x²  – 3x + 1 ) = (x + 1 )x² ( x²  – 3x + 4 – 3x + 1x²  ) .
Делаем подстановку:
u = x + 1x ,  u²  = ( x + 1x  )²  = x²  + 2 + 1x² ,   x²  + 1x² = u²  – 2 ;
P₅ (x ) = (x + 1 )x² (u²  – 2 – 3u + 4 ) = (x + 1 )x² (u²  – 3u + 2 ) ;
u²  – 3u + 2 = u²  – 2 32 u + ( 32  )²  + 2 – 94 = ( u – 32  )²  – 14 =
 ( u – 32 – 12  )( u – 32 + 12  ) = (u – 2 )(u – 1 ) = ( x + 1x – 2  )( x + 1x – 1  ) =
 1x² (x²  – 2x + 1 )(x²  – x + 1 ) = 1x² (x – 1 )² (x²  – x + 1 ) ;
P₅ (x ) = (x + 1 )x² (u²  – 3u + 2 ) = (x + 1 )x² 1x² (x – 1 )² (x²  – x + 1 ) .

Ответ

P₅ (x ) = (x + 1 )(x – 1 )² (x²  – x + 1 ) .

Примеры разложения многочленов на множители с целыми корнями

Пример 3.1

Разложить многочлен на множители:
P₃ (x ) = x³  – 6x²  + 11x – 6 .

Решение

Предположим, что уравнение
x³  – 6x²  + 11x – 6 = 0
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 6 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6 .
Подставляем поочередно эти значения:
(–6)³ – 6·(–6)² + 11·(–6) – 6 = –504 ;
(–3)³ – 6·(–3)² + 11·(–3) – 6 = –120 ;
(–2)³ – 6·(–2)² + 11·(–2) – 6 = –60 ;
(–1)³ – 6·(–1)² + 11·(–1) – 6 = –24 ;
1³ – 6·1² + 11·1 – 6 = 0 ;
2³ – 6·2² + 11·2 – 6 = 0 ;
3³ – 6·3² + 11·3 – 6 = 0 ;
6³ – 6·6² + 11·6 – 6 = 60 .

Итак, мы нашли три корня:
x₁ = 1 , x₂ = 2 , x₃ = 3 .
Поскольку исходный многочлен – третьей степени, то он имеет не более трех корней. Поскольку мы нашли три корня, то они простые. Тогда
x³  – 6x²  + 11x – 6 = (x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) .

Ответ

x³  – 6x²  + 11x – 6 = (x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) .

Пример 3.2

Разложить многочлен на множители:
P₄ (x ) = x⁴  + 2x³  + 3x²  + 4x + 2 .

Решение

Предположим, что уравнение
x⁴  + 2x³  + 3x²  + 4x + 2 = 0
имеет хотя бы один целый корень. Тогда он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
–2, –1, 1, 2 .
Подставляем поочередно эти значения:
(–2)⁴ + 2·(–2)³ + 3·(–2)³ + 4·(–2) + 2 = 6 ;
(–1)⁴ + 2·(–1)³ + 3·(–1)³ + 4·(–1) + 2 = 0 ;
1⁴ + 2·1³ + 3·1³ + 4·1 + 2 = 12 ;
2⁴ + 2·2³ + 3·2³ + 4·2 + 2 = 54 .

Теперь нужно решить уравнение третьей степени:
x³  + x²  + 2x + 2 = 0 .
Если предположить, что это уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа 2 (члена без x). То есть целый корень может быть одним из чисел:
1, 2, –1, –2 .
Подставим x = –1 :
(– 1 )³  + (– 1 )²  + 2 ⋅ (– 1 ) + 2 = – 1 + 1 – 2 + 2 = 0 .

Итак, мы нашли еще один корень x₂ = –1 . Можно было бы, как и в предыдущем случае, разделить многочлен   x³  + x²  + 2x + 2   на   x + 1 , но мы сгруппируем члены:
x³  + x²  + 2x + 2 = (x + 1 )x²  + 2(x + 1 ) = (x + 1 )(x²  + 2 ) .

Поскольку уравнение x ² + 2 = 0 не имеет действительных корней, то разложение многочлена на множители имеет вид:
x⁴  + 2x³  + 3x²  + 4x + 2 = (x + 1 )² (x²  + 2 ) .

Ответ

x⁴  + 2x³  + 3x²  + 4x + 2 = (x + 1 )² (x²  + 2 ) .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 18-06-2015