Примеры решений интегралов по частям, содержащих произведение многочлена на sin x, cos x или e^x

Подробно рассмотрены примеры решений интегралов по частям, подынтегральное выражение которых является произведением многочлена на экспоненту (е в степени х) или на синус (sin x) или на косинус (cos x).

Формула интегрирования по частям

При решении примеров этого раздела, используется формула интегрирования по частям:
∫ u dv = uv – ∫ v du ;
∫ u(x )v^′(x ) dx = ∫ u(x ) d v(x ) = u(x )v(x ) – ∫ v(x )u^′(x ) dx .
Подробнее >>>

Примеры интегралов, содержащих произведение многочлена и sin x, cos x или e^x

Вот примеры таких интегралов:
∫ x⁴ e^– x  dx ,   ∫ x² sin (2x + 3 ) dx ,   ∫ (x²  + 3x + 5 ) cos 2x dx .

Для интегрирования подобных интегралов, многочлен обозначают через u , а оставшуюся часть – через v dx . Далее применяют формулу интегрирования по частям.

Ниже дается подробное решение этих примеров.

Примеры решения интегралов

Пример с экспонентой, е в степени х

Определить интеграл:
∫ x⁴ e^– x  dx .

Решение

Введем экспоненту под знак дифференциала:
e ^{– x} dx = – e ^{– x} d(–x) = – d(e ^{– x}) .

Интегрируем по частям.
I = ∫ x⁴ e^– x  dx = – ∫ x⁴  d e^– x  =
здесь u = x⁴ ,  v = e^– x ,  du = ( x⁴  )^′dx
– ( x⁴  e^– x  – ∫ (x⁴ )^′ e^– x  dx  ) = – x⁴  e^– x  + 4 ∫ x³  e^– x  dx .
Оставшийся интеграл также интегрируем по частям.
I₂  = ∫ x³ e^– x  dx = – ∫ x³  d e^– x  = – ( x³  e^– x  – ∫ (x³ )^′ e^– x  dx  ) = – x³  e^– x  + 3 ∫ x²  e^– x  dx .
I₃  = ∫ x² e^– x  dx = – ∫ x²  d e^– x  = – ( x²  e^– x  – ∫ (x² )^′ e^– x  dx  ) = – x²  e^– x  + 2 ∫ x e^– x  dx .
I₄  = ∫ xe^– x  dx = – ∫ x d e^– x  = – ( x e^– x  – ∫ e^– x  dx  ) = – x e^– x  + ∫ e^– x  dx = – x e^– x  – e^– x .
Окончательно имеем:
I = – x⁴  e^– x  + 4I₂  = – x⁴  e^– x  – 4x³  e^– x  + 12I₃  = – x⁴  e^– x  – 4x³  e^– x  – 12x²  e^– x  + 24I₄  = – x⁴  e^– x  – 4x³  e^– x  – 12x²  e^– x  – 24x e^– x  – 24e^– x  = – ( x⁴  + 4x³  +    12x²  + 24x + 24  ) e^– x .

Ответ

I =  – ( x⁴  + 4x³  +    12x²  + 24x + 24  ) e^– x  + C .

Пример определения интеграла с синусом

Вычислить интеграл:
∫ x² sin (2x + 3 ) dx .

Решение

Введем синус под знак дифференциала:
sin (2x + 3 ) dx = 12 sin (2x + 3 ) d (2x + 3 ) = – 12  d  cos (2x + 3 )

Интегрируем по частям.
I = ∫ x² sin (2x + 3 ) dx = – 12 ∫ x²  d  cos (2x + 3 ) =
здесь u = x² , v = cos(2x+3) , du = (x²)′ dx
– 12 ( x²  cos (2x + 3 ) –    ∫ (x² )^′  cos (2x + 3 ) dx  ) = – 12 x²  cos (2x + 3 ) + 12 ∫ 2x  cos (2x + 3 ) dx = – 12 x²  cos (2x + 3 ) + ∫ x  cos (2x + 3 ) dx

Оставшийся интеграл также интегрируем по частям. Для этого вводим косинус под знак дифференциала.
cos (2x + 3 ) dx = 12 cos (2x + 3 ) d (2x + 3 ) = 12  d  sin (2x + 3 )
I₂  = ∫ x  cos (2x + 3 ) dx = 12 ∫ x d  sin (2x + 3 ) =
здесь u = x , v = sin(2x+3) , du = dx
12 (x  sin (2x + 3 ) –  ∫ sin (2x + 3 ) dx  ) = 12 (x  sin (2x + 3 ) +  12 cos (2x + 3 ) ) = 12 x  sin (2x + 3 ) + 14 cos (2x + 3 )
Окончательно имеем:
I = – 12 x²  cos (2x + 3 ) + I₂  = – 12 x²  cos (2x + 3 ) + 12 x  sin (2x + 3 ) + 14 cos (2x + 3 )

Ответ

I = 14 ( 1 – 2x²  )  cos (2x + 3 ) + 12 x  sin (2x + 3 ) + C .

Пример произведения многочлена и косинуса

Вычислить интеграл:
∫ (x²  + 3x + 5 ) cos 2x dx .

Решение

Введем косинус под знак дифференциала:
cos 2x dx = 12 cos 2x d 2x = 12  d  sin 2x

Интегрируем по частям.
I = ∫ (x²  + 3x + 5 ) cos 2x dx = 12 ∫ (x²  + 3x + 5 ) d  sin 2x =
здесь u = x² + 3x + 5 , v = sin 2x , du = (x² + 3x + 5)′ dx
12 ((x²  + 3x + 5 )  sin 2x –  ∫ (x²  + 3x + 5 )^′  sin 2x dx  ) = 12 (x²  + 3x + 5 )  sin 2x – 12 ∫ (2x + 3 )  sin 2x dx = 12 (x²  + 3x + 5 )  sin 2x – 32 ∫ sin 2x dx – ∫ x  sin 2x dx

Вводим синус под знак дифференциала:
sin 2x dx = 12 sin 2x d 2x = – 12  d  cos 2x

Тогда
I₂  = ∫ sin 2x dx = – 12  cos 2x

Последний интеграл интегрируем по частям
I₃  = ∫ x  sin 2x dx = – 12 ∫ x d  cos 2x =
здесь u = x , v = cos 2x , du = dx
– 12 ( x  cos 2x – ∫ cos 2x dx  ) = – 12 ( x  cos 2x – 12 sin 2x  ) = – 12 x  cos 2x + 14 sin 2x

Окончательно имеем:
I = 12 (x²  + 3x + 5 )  sin 2x – 32 I₂  – I₃  = 12 (x²  + 3x + 5 )  sin 2x – 32 ( – 12  cos 2x  ) – ( – 12 x  cos 2x + 14 sin 2x  ) = 12 (x²  + 3x + 5 )  sin 2x + 34  cos 2x + 12 x  cos 2x – 14 sin 2x = 14 (2x²  + 6x + 9 )  sin 2x + 14 (2x + 3 )  cos 2x .

Ответ

I = 14 (2x²  + 6x + 9 )  sin 2x + 14 (2x + 3 )  cos 2x + C .

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 19-10-2014