Подстановки Эйлера

Три подстановки Эйлера
Рассмотрим интегралы, подынтегральное выражение которых является рациональной функцией от переменной интегрирования и квадратного корня из квадратного многочлена.
,
Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
, при a > 0;
, при c > 0;
, где x1 – любой корень уравнения a x2 + b x + c = 0. Если это уравнение имеет действительные корни.
Также можно применять подстановки:
, при a > 0;
, при c > 0;
которые отличаются изменением знака перед t.
Выбор подстановки Эйлера
Как видно, для вычисления интеграла, можно применять не одну подстановку Эйлера. Все они приводят к интегралу от рациональной функции. Выбор в пользу той или иной подстановки следует делать, чтобы упростить вычисления.
Так, если подынтегральное выражение содержит комбинацию , то следует выбрать подстановку Эйлера:
.
Поскольку в этом случае сразу получается более простое выражение:
А если подынтегральное выражение содержит комбинацию , то следует выбрать подстановку:
.
Поскольку в этом случае:
Доказательство
Докажем, что подстановки Эйлера приводят к интегралу от рациональной функции.
1) a > 0
Пусть a > 0. Делаем подстановку:
Возводим в квадрат.
Вычитаем из обеих частей равенства ax 2 и преобразовываем.
Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t
Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень
– тоже рациональная функция от t.
То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.
2) c > 0
Пусть c > 0. Делаем подстановку:
Возводим в квадрат.
Вычитаем из обеих частей равенства c и делим на x.
Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t
Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень
– тоже рациональная функция от t.
То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.
3) Уравнение имеет действительные корни
Пусть уравнение a x2 + b x + c = 0 имеет действительные корни x1, x2. Тогда
a x2 + b x + c = a(x – x1)(x – x2)
Делаем подстановку:
Возводим в квадрат.
Делим на x – x1 и преобразовываем.
Отсюда видно, что x является рациональной функцией от t
Также и дифференциал dx будет произведением рациональной функции от t на dt. И квадратный корень
– тоже рациональная функция от t.
То есть, при такой подстановке, подынтегральное выражение будет рациональной функцией от переменной интегрирования t.
Пример применения подстановки Эйлера
В качестве примера, вычислим интеграл
применяя одну из подстановок Эйлера.
Решение
Здесь a = 1 > 0. В соответствии со сказанным выше, для решения примера, выбираем подстановку:
Поскольку при такой подстановке, подынтегральное выражение сразу упростится
Возводим в квадрат и преобразовываем.
Берем дифференциал.
Преобразуем знаменатель.
Подставляем.
Разложим дробь на простейшие. Ищем разложение в виде:
Умножаем на t(2t + 1)2
Подставляем t = 0, t = –1/2, t = – 1.
2 = A
2 = A – B + C
Отсюда
А = 2
C = 2 – A + B = 2 – 2 – 3 = – 3
Итак, мы получили разложение дроби на простейшие:
Интегрируем
Ответ
где
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: