Методы интегрирования иррациональных функций (корней)
Иррациональная функция от переменной x– это функция, которая образована из переменной x и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения (возведения в целочисленную степень), деления и извлечения корней. Иррациональная функция отличается от рациональной тем, что иррациональная функция содержит операции извлечения корней.
Существует три основных типа иррациональных функций, неопределенные интегралы от которых приводятся к интегралам от рациональных функций. Это интегралы, содержащие корни произвольных целочисленных степеней из дробно-линейной функции (корни могут быть различных степеней, но от одной и той же, дробно-линейной функции); интегралы от дифференциального бинома и интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена.
Важное замечание. Корни многозначны!
При вычислении интегралов, содержащих корни, часто встречаются выражения вида √ t 2 , где t – некоторая функция от переменной интегрирования x . При этом следует иметь в виду, что √ t 2 = | t | . То есть, при t > 0, |t| = t . При t < 0, |t| = – t . Поэтому, при вычислении подобных интегралов, нужно отдельно рассматривать случаи t > 0 и t < 0 . Это можно сделать, если писать знаки ± или ∓ там, где это необходимо. Подразумевая, что верхний знак относится к случаю t > 0 , а нижний – к случаю t < 0 . При дальнейшем преобразовании, эти знаки, как правило, взаимно сокращаются.
Возможен и второй подход, при котором подынтегральную функцию и результат интегрирования можно рассматривать как комплексные функции от комплексных переменных. Тогда можно не следить за знаками в подкоренных выражениях. Этот подход применим, если подынтегральная функция является аналитической, то есть дифференцируемой функцией от комплексной переменной. В этом случае и подынтегральная функция и интеграл от нее являются многозначными функциями. Поэтому после интегрирования, при подстановке численных значений, нужно выделить однозначную ветвь (риманову поверхность) подынтегральной функции, и для нее выбрать соответствующую ветвь результата интегрирования.
Далее, по возможности, мы будем применять первый подход, и следить за знаком подкоренных выражений.
Дробно-линейная иррациональность
Это интегралы с корнями от одной и той же дробно-линейной функции:
∫ R( x, ( αx + βγx + δ ) r1 ,..., ( αx + βγx + δ ) rs )dx ,
где R – рациональная функция, r1 = m1 n1 ,..., rs = ms ns – рациональные числа, m1, n1, ..., ms, ns – целые числа, α, β, γ, δ – действительные числа.
Такие интегралы сводится к интегралу от рациональной функции подстановкой:
t n = αx + βγx + δ , где n – общий знаменатель чисел r1, ..., rs .
Корни могут быть не обязательно от дробно-линейной функции, но и от линейной (γ = 0, δ = 1), или от переменной интегрирования x (α = 1, β = 0, γ = 0, δ = 1).
Вот примеры таких интегралов:
∫ x dx√ x + 1 – 3√ x + 1 , ∫ dx3 √ (x – 1 ) 7 (x + 1 ) 2 .
Подробнее: Интегрирование дробно-линейной иррациональности >>>
Интегралы от дифференциальных биномов
Интегралы от дифференциальных биномов имеют вид:
Im, p = ∫ x m (ax n + b ) p dx ,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях.
1) Если p – целое. Подстановка x = t N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
2) Если m + 1n – целое. Подстановка a x n + b = t M , где M – знаменатель числа p .
3) Если m + 1n + p – целое. Подстановка a + b x – n = t M , где M – знаменатель числа p .
В остальных случаях, такие интегралы не выражаются через элементарные функции.
Иногда такие интегралы можно упростить с помощью формул приведения:
a(m + np + 1 )Im, p = x m – n + 1 (ax n + b ) p + 1 – b(m – n + 1 )Im – n, p ;
(m + np + 1 )Im, p = x m + 1 (ax n + b ) p + bnpIm, p – 1 .
Подробнее: Интегрирование дифференциального бинома >>>
Интегралы, содержащие квадратный корень из квадратного трехчлена
Такие интегралы имеют вид:
∫ R( x, √ ax 2 + bx + c )dx ,
где R – рациональная функция. Для каждого такого интеграла имеется несколько методов решения.
1) С помощью преобразований привести к более простым интегралам.
2) Применить тригонометрические или гиперболические подстановки.
3) Применить подстановки Эйлера.
Рассмотрим эти методы более подробно.
1) Преобразование подынтегральной функции
Применяя формулу ( √ ax 2 + bx + c ) 2 = ax 2 + bx + c , и выполняя алгебраические преобразования, приводим подынтегральную функцию к виду:
φ(x ) + ω(x )√ ax 2 + bx + c ,
где φ(x), ω(x) – рациональные функции.
Подробнее >>>
Далее выделяя целую часть у ω(x) и раскладывая остаток на простейшие дроби, получаем интегралы трех типов.
I тип
Интеграл вида:
∫ Pn (x ) dx√ ax 2 + bx + c ,
где Pn(x) – многочлен степени n .
Такие интегралы находятся методом неопределенных коэффициентов, используя тождество:
∫ Pn (x ) dx√ ax 2 + bx + c = (A1 x n – 1 + A2 x n – 2 + ... + An ) ⋅ √ ax 2 + bx + c +
An + 1 ∫ dx√ ax 2 + bx + c .
Дифференцируя это уравнение и приравнивая левую и правую части, находим коэффициенты Ai .
Подробнее >>>
II тип
Интеграл вида:
∫ Pm (x ) dx(x – α ) n √ ax 2 + bx + c ,
где Pm(x) – многочлен степени m .
Подстановкой t = (x – α)–1 этот интеграл приводится к предыдущему типу. Если m ≥ n , то у дроби Pm (x )(x – α ) n следует выделить целую часть.
Подробнее >>>
III тип
∫ (Mx + N ) dx(x 2 + px + q ) n √ ax 2 + bx + c .
Здесь мы делаем подстановку:
x = αt + βt + 1 .
После чего интеграл примет вид:
∫ P2n – 1 (t ) dt(At 2 + Bt + C ) n √ A1 t 2 + B1 t + C1 .
Далее, постоянные α, β нужно выбрать такими, чтобы в знаменателе коэффициенты при t обратились в нуль:
B = 0, B1 = 0 .
Тогда интеграл распадается на сумму интегралов двух видов:
∫ t 2ν + 1 dt(At 2 + C ) n √ A1 t 2 + C1 ,
∫ t 2ν dt(At 2 + C ) n √ A1 t 2 + C1 ,
которые интегрируются подстановками:
u 2 = A1t 2 + C1 ,
v 2 = A1 + C1 t –2 .
Подробнее >>>
2) Тригонометрические и гиперболические подстановки
В некоторых случаях, применение тригонометрических и гиперболических подстановок приводит к более коротким вычислениям. Для их применения, с помощью линейной подстановки, квадратный трехчлен под знаком интеграла нужно привести к сумме или разности квадратов. Затем нужно применить одну из тригонометрических или гиперболических подстановок. Основные подстановки перечислены ниже. Более подробно они рассматриваются на странице:
Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>
Для интегралов вида ∫ R( x, √ a 2 – x 2 ) dx , a > 0 ,
имеем три основные подстановки:
x = a sin t, – π2 ≤ t ≤ π2 ;
x = a th t, – ∞ < t < ∞ ;
x = ± ach t , t ≥ 0 ;
Для интегралов ∫ R( x, √ x 2 + a 2 ) dx , a > 0 ,
имеем следующие подстановки:
x = a sh t, – ∞ < t < ∞ ;
x = a tg t, – π2 < t < π2 ;
x = ash t , t ≠ 0 ;
И, наконец, для интегралов ∫ R( x, √ x 2 – a 2 ) dx , a > 0 ,
подстановки следующие:
x = ± a ch t, t ≥ 0 ;
x = a cth t, t ≠ 0 ;
x = asin t , 0 < | t | ≤ π2 ;
Подробнее: Тригонометрические и гиперболические подстановки >>>
3) Подстановки Эйлера
Также интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций одной из трех подстановок Эйлера:
√ ax 2 + bx + c = ± x √ a + t , при a > 0 ;
√ ax 2 + bx + c = ± √ c + tx , при c > 0 ;
√ ax 2 + bx + c = t(x – x1 ) , где x1 – корень уравнения a x2 + b x + c = 0 . Если это уравнение имеет действительные корни.
Подробнее: Подстановки Эйлера >>>
Эллиптические интегралы
В заключении рассмотрим интегралы вида:
∫ R(x, y ) dx ,
где R – рациональная функция, y = √ Ax 4 + Bx 3 + Cx 2 + Dx + E . Такие интегралы называются эллиптическими. В общем виде они не выражаются через элементарные функции. Однако встречаются случаи, когда между коэффициентами A, B, C, D, E существуют соотношения, при которых такие интегралы выражаются через элементарные функции.
Ниже приводится пример, связанный с возвратными многочленами. Вычисление подобных интегралов выполняется с помощью подстановок:
u = x + 1x , v = x – 1x .
Пример
Все примеры Вычислить интеграл:
I = ∫ x 2 – 1x 2 + 1 dx√ x 4 + 1 .
Решение
Делаем подстановку u = x + 1x = x 2 + 1x .
√ x 4 + 1 = √ x 2 ( x 2 + 1x 2 ) = | x | √ x 2 + 1x 2 = ± x √ ( x + 1x ) 2 – 2 = ± x √ u 2 – 2 .
Здесь при x > 0 (u > 0) берем верхний знак ′+′. При x < 0 (u < 0) – нижний ′–′.
I = ∫ x 2 – 1x 2 + 1 dx√ x 4 + 1 = ± ∫ ( 1 – 1x 2 ) dx( 1 + 1x 2 )x √ u 2 – 2 = ± ∫ d( x + 1x )( x + 1x ) √ u 2 – 2 =
± ∫ duu √ u 2 – 2 = ± ∫ duu | u | √ 1 – 2u – 2 = ∫ duu 2 √ 1 – 2u – 2 =
– 1√ 2 ∫ d( √ 2 u – 1 )√ 1 – ( √ 2 u – 1 ) 2 = 1√ 2 arccos ( √ 2 u – 1 ) = 1√ 2 arccos ( x √ 2 x 2 + 1 ) .
Ответ
I = 1√ 2 arccos ( x √ 2 x 2 + 1 ) + C .
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: