Методы разложения рациональных дробей на простейшие
Пусть у нас имеется правильная рациональная дробь многочленов от переменной x :
Pm (x )Qn (x ) ,
где Рm(x) и Qn(x) – многочлены степеней m и n , соответственно, m < n . Мы считаем, что нам известно разложение многочлена Qn(x) на множители:
Qn(x) = s (x-a)na (x-b)nb ... (x2+ex+f)ne (x2+gx+k)ng ... .
См. подробнее: Методы разложения многочленов на множители >>>
Примеры разложения многочленов на множители >>>
Далее мы приводим наиболее эффективные методы разложения правильной рациональной дроби на простейшие.
Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие
Общий вид разложения рациональной дроби на простейшие следующий:
Pm (x )Qn (x ) = A1(x – a ) na + A2(x – a ) na – 1 + ... + Anax – a + B1(x – b ) nb + B2(x – b ) nb – 1 + ... + Bnbx – b + ... + E1 x + F1(x 2 + ex + f ) ne + E2 x + F2(x 2 + ex + f ) ne – 1 + ... + Ene x + Fnex 2 + ex + f + G1 x + K1(x 2 + gx + k ) ng + G2 x + K2(x 2 + gx + k ) ng – 1 + ... + Gng x + Kngx 2 + gx + k + ... .
Здесь Ai, Bi, Ei, ... – действительные числа (неопределенные коэффициенты), которые нужно определить.
Например,
x 2 + x(x – 1 ) 3 (x – 2 )(x – 3 ) = A(x – 1 ) 3 + B(x – 1 ) 2 + Cx – 1 + Dx – 2 + Ex – 3 .
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.
Еще один пример:
x 2 – x(x 2 + 1 ) 2 (x + 1 ) = Ax + B(x 2 + 1 ) 2 + Cx + Dx 2 + 1 + Ex + 1 .
Методы разложения рациональной дроби на простейшие
Сначала мы записываем разложение с неопределенными коэффициентами в общем виде. . Затем освобождаемся от знаменателей дробей, умножая уравнение на знаменатель исходной дроби Qn . В результате получаем уравнение, содержащее и слева и справа многочлены от переменной x . Это уравнение должно выполняться для всех значений x . Далее существует три основных метода определения неопределенных коэффициентов.
1) Можно присвоить переменной x определенные значения. Задавая несколько таких значений, мы получим систему уравнений, из которой определяем неизвестные коэффициенты Ai, Bi, ... .
2) Поскольку полученное уравнение и слева и справа содержит многочлены, то можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Из полученной системы можно определяются неопределенные коэффициенты.
3) Можно продифференцировать уравнение и присвоить переменной x определенные значения.
На практике, удобно комбинировать эти методы. Разберем их применение на конкретных примерах.
Примеры разложения дробей
Все примеры Ниже рассмотрены следующие примеры разложения дробей на простейшие:
x 2 + x(x – 1 ) 3 (x – 2 )(x – 3 ) x + 1x(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) x 2 – x(x 2 + 1 ) 2 (x + 1 )
Пример с действительными корнями знаменателя
Все примеры Разложить правильную рациональную дробь на простейшие.
x 2 + x(x – 1 ) 3 (x – 2 )(x – 3 )
Решение
1. Устанавливаем общий вид разложения.
(1.1) x 2 + x(x – 1 ) 3 (x – 2 )(x – 3 ) = A(x – 1 ) 3 + B(x – 1 ) 2 + Cx – 1 + Dx – 2 + Ex – 3 ,
где A, B, C, D, E – коэффициенты, которые нужно определить.
2. Избавимся от знаменателей дробей. Для этого умножим уравнение на знаменатель исходной дроби (x–1) 3(x–2)(x–3) . В результате получаем уравнение:
(1.2) x 2 + x = A(x – 2 )(x – 3 ) + B(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) + C(x – 1 ) 2 (x – 2 )(x – 3 ) +
D(x – 1 ) 3 (x – 3 ) + E(x – 1 ) 3 (x – 2 ) .
3. Подставим в (1.2) x = 1 . Тогда x – 1 = 0 . Остается
1 2 + 1 = A(1 – 2 )(1 – 3 ) + 0 .
Отсюда A = 1 2 + 1(1 – 2 )(1 – 3 ) = 1 .
Подставим в (1.2) x = 2 . Тогда x – 2 = 0 . Остается
2 2 + 2 = 0 + D(2 – 1 ) 2 (2 – 3 ) + 0 .
Отсюда D = 2 2 + 2(2 – 1 ) 3 (2 – 3 ) = – 6 .
Подставим x = 3 . Тогда x – 3 = 0 . Остается
3 2 + 3 = 0 + E(3 – 1 ) 3 (3 – 2 ) .
Отсюда E = 3 2 + 3(3 – 1 ) 3 (3 – 2 ) = 32 .
4. Осталось определить два коэффициента: B и C . Это можно сделать тремя способами.
1) Подставить в формулу (1.2) два определенных значения переменной x . В результате получим систему из двух уравнений, из которой можно определить коэффициенты B и C .
2) Открыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях x .
3) Продифференцировать уравнение (1.2) и присвоить переменной x определенное значение.
В нашем случае, удобно применить третий способ. Возьмем производную от левой и правой частей уравнения (1.2), и подставим x = 1 . При этом замечаем, что члены, содержащие множители (x–1) 2 и (x–1) 3 дают нуль, поскольку, например,
( (x – 1 ) 2 ) ′ = 2(x – 1 ) = 0 , при x = 1 .
В произведениях вида (x–1)g(x) , дифференцировать нужно только первый множитель, поскольку
( (x – 1 )g(x ) ) ′ = (x – 1 ) ′g(x ) + (x – 1 )g ′(x ) .
При x = 1 второй член обращается в нуль.
Дифференцируем (1.2) по x и подставляем x = 1 :
( x 2 + x ) ′ = A(x – 2 ) ′(x – 3 ) + A(x – 2 )(x – 3 ) ′ + B(x – 1 ) ′(x – 2 )(x – 3 ) + ... ;
2x + 1 = A(x – 3 ) + A(x – 2 ) + B(x – 2 )(x – 3 ) + ... ;
2 ⋅ 1 + 1 = A(1 – 3 ) + A(1 – 2 ) + B(1 – 2 )(1 – 3 ) ;
3 = –3A + 2B ; 2B = 3 + 3A = 6 ; B = 3 .
Итак, мы нашли B = 3 . Остается найти коэффициент C . Дифференцировать второй раз затруднительно, поэтому применим второй способ. Так как нам нужно получить одно уравнение, то не нужно находить все члены разложения уравнения (1.2) по степеням x . Мы выбираем самый легкий член разложения – x 4 .
Выпишем еще раз уравнение (1.2):
(1.2) x 2 + x = A(x – 2 )(x – 3 ) + B(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) + C(x – 1 ) 2 (x – 2 )(x – 3 ) +
D(x – 1 ) 3 (x – 3 ) + E(x – 1 ) 3 (x – 2 ) .
Раскрываем скобки и оставляем только члены вида x 4 .
0 ⋅ x 4 + ... = Cx 4 + Dx 4 + Ex 4 + ... .
Отсюда 0 = C + D + E , C = – D – E = 6 – 3/2 = 9/2 .
Сделаем проверку. Для этого определим C первым способом. Подставим в (1.2) x = 0 :
0 = 6A – 6B+ 6C + 3D + 2E ;
6C = – 6A + 6B – 3D – 2E = – 6 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 – 3 ⋅ (– 6 ) – 2 ⋅ 32 = 27 ;
C = 92 . Все правильно.
Ответ
x 2 + x(x – 1 ) 3 (x – 2 )(x – 3 ) = 1(x – 1 ) 3 + 3(x – 1 ) 2 + 92(x – 1 ) – 6x – 2 + 32(x – 3 )
Определение коэффициента при старшей степени 1/(x–a)
В предыдущем примере мы сразу определили коэффициенты у дробей 1(x – 1 ) 3 , 1x – 2 , 1x – 3 , присваивая, в уравнении (1.2), переменной x значения x = 1 , x = 2 и x = 3 . В более общем случае, всегда можно сразу определить коэффициент при старшей степени дроби вида 1x – a .
То есть если исходная дробь имеет вид:
Pm (x )(x – a ) k Qn (x ) ,
то коэффициент при 1(x – a ) k равен Pm (a )Qn (a ) . Таким образом, разложение по степеням 1x – a начинается с члена Pm (a )Qn (a )(x – a ) k .
Поэтому в предыдущем примере мы сразу могли искать разложение в виде:
x 2 + x(x – 1 ) 3 (x – 2 )(x – 3 ) = 1 2 + 1(x – 1 ) 3 (1 – 2 )(1 – 3 ) + B(x – 1 ) 2 + Cx – 1 +
2 2 + 2(2 – 1 ) 3 (x – 2 )(2 – 3 ) + 3 2 + 3(3 – 1 ) 3 (3 – 2 )(x – 3 ) =
1(x – 1 ) 3 + B(x – 1 ) 2 + Cx – 1 – 6x – 2 + 32(x – 3 ) .
В некоторых простых случаях, можно сразу найти коэффициенты разложения (см. следующий пример).
Пример быстрого разложения
Все примеры x + 1x(x – 1 )(x – 2 )(x – 3 ) = 0 + 1x(0 – 1 )(0 – 2 )(0 – 3 ) + 1 + 11(x – 1 )(1 – 2 )(1 – 3 ) +
2 + 12(2 – 1 )(x – 2 )(2 – 3 ) + 3 + 13(3 – 1 )(3 – 2 )(x – 3 ) =
– 16x + 1(x – 1 ) – 32(x – 2 ) + 23(x – 3 ) .
Пример с комплексными корнями знаменателя
Все примерыТеперь разберем пример, в котором знаменатель имеет комплексные корни.
Пусть требуется разложить дробь на простейшие:
x 2 – x(x 2 + 1 ) 2 (x + 1 ) .
Решение
1. Устанавливаем общий вид разложения:
x 2 – x(x 2 + 1 ) 2 (x + 1 ) = Ax + B(x 2 + 1 ) 2 + Cx + Dx 2 + 1 + Ex + 1 .
Здесь A, B, C, D, E – неопределенные коэффициенты (действительные числа), которые нужно определить.
2. Освобождаемся от знаменателей дробей. Для этого умножаем уравнение на знаменатель исходной дроби (x 2 + 1 ) 2 (x + 1 ) :
(2.1) x 2 – x = (Ax + B )(x + 1 ) + (Cx + D )(x 2 + 1 )(x + 1 ) + E(x 2 + 1 ) 2 .
3. Заметим, что уравнение x 2 + 1 = 0 имеет комплексный корень x = i , где i – комплексная единица, i 2 = –1 . Подставим в (2.1), x = i . Тогда члены, содержащие множитель x 2 + 1 дают 0 . В результате получаем:
i 2 – i = (Ai + B )(i + 1 ) + 0 ;
– 1 – i = Ai 2 + Ai + Bi + B = – A + B + i(A + B ) .
Сравнивая левую и правую части, получаем систему уравнений:
–A + B = –1 , A + B = –1 .
Складываем уравнения:
2B = –2 , B = –1 , A = –B –1 = 1 – 1 = 0 .
Итак, мы нашли два коэффициента: А = 0 , B = –1 .
4. Заметим, что x + 1 = 0 при x = –1 . Подставим в (2.1), x = –1 :
(– 1 ) 2 – (– 1 ) = 0 + E((– 1 ) 2 + 1 ) 2 ;
2 = 4E , E = 1/2 .
5. Далее удобно подставить в (2.1) два значения переменной x и получить два уравнения, из которых можно определить C и D . Подставим в (2.1) x = 0 :
0 =B + D + E , D = –B – E = 1 – 1/2 = 1/2 .
6. Подставим в (2.1) x = 1 :
0 = 2(A + B) + 4(C + D) + 4E ;
2(C + D) = –A – B – 2E = 0 ;
C = –D = –1/2 .
Ответ
x 2 – x(x 2 + 1 ) 2 (x + 1 ) = – 1(x 2 + 1 ) 2 – x – 12(x 2 + 1 ) + 12(x + 1 ) .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: