Методы решения физико-математических задач

Интегрирование простейших (элементарных) дробей

Интегралы от простейших дробей
Приводится вывод формул для вычисления интегралов от простейших, элементарных, дробей четырех типов. Более сложные интегралы, от дробей четвертого типа, вычисляются с помощью формулы приведения. Рассмотрен пример интегрирования дроби четвертого типа.

Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1)   ;
2)   ;
3)   ;
4)   .
Здесь a, A, B, b, c – действительные числа. Уравнение   x 2 + bx + c = 0   не имеет действительных корней.

Интегрирование дробей первых двух типов

Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов:
,
,   n ≠ – 1.

1. Интегрирование дроби первого типа

Дробь первого типа подстановкой  t = x – a  приводится к табличному интегралу:
.

2. Интегрирование дроби второго типа

Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой  t = x – a:

.

3. Интегрирование дроби третьего типа

Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.

3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя

Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2 + bx + c. Дифференцируем: u′ = 2x + b. Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку  .

Тогда:
,
где
.

3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1

Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.

Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где   .
Мы считаем, что уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Поэтому   .

Сделаем подстановку
,
.
.

Итак,
.

Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:

,
где  .

4. Интегрирование дроби четвертого типа

И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.

4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.

4.2) Вычисляем интеграл
.

4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.

Далее мы приводим вывод этих формул, и пример вычисления интеграла от элементарной дроби четвертого типа.

4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя

Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в разделе 3.1 ⇑. Обозначим   u = x 2 + bx + c. Дифференцируем: u′ = 2x + b. Тогда
.

.
Но
.

Окончательно имеем:
.

4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1

Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в разделе 3.2 ⇑.

4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения

Теперь рассмотрим интеграл
.

Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь   .
Делаем подстановку.
.
.

Выполняем преобразования и интегрируем по частям.




.

Умножим на 2(n – 1):
.
Возвращаемся к x и In.
,
;
;
.

Итак, для In мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл In к I1.

Пример

Вычислить интеграл

Решение

1. Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;


.
Здесь
.

2. Вычисляем интеграл от самой простой дроби.

.

3. Применяем формулу приведения:

для интеграла   .
В нашем случае b = 1, c = 1, 4c – b 2 = 3. Выписываем эту формулу для n = 2 и n = 3:
;
.
Отсюда

.

Окончательно имеем:

.
Находим коэффициент при   .
.

Ответ

.

.     Опубликовано:   Изменено: