Интегрирование простейших (элементарных) дробей

Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Здесь a, A, B, b, c – действительные числа. Уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Интегрирование дробей первых двух типов
Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов:
,
, n ≠ – 1.
1. Интегрирование дроби первого типа
Дробь первого типа подстановкой t = x – a приводится к табличному интегралу:
.
2. Интегрирование дроби второго типа
Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x – a:
.
3. Интегрирование дроби третьего типа
Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.
3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя
Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2 + bx + c. Дифференцируем: u′ = 2x + b. Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .
Тогда:
,
где
.
3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1
Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.
Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2 + bx + c = 0 не имеет корней. Поэтому .
Сделаем подстановку
,
.
.
Итак,
.
Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:
,
где .
4. Интегрирование дроби четвертого типа
И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.
4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.
4.2) Вычисляем интеграл
.
4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.
Далее мы приводим вывод этих формул, и пример вычисления интеграла от элементарной дроби четвертого типа.
4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя
Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в разделе 3.1 ⇑. Обозначим u = x 2 + bx + c. Дифференцируем: u′ = 2x + b. Тогда
.
.
Но
.
Окончательно имеем:
.
4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1
Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в разделе 3.2 ⇑.
4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения
Теперь рассмотрим интеграл
.
Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.
Выполняем преобразования и интегрируем по частям.
.
Умножим на 2(n – 1):
.
Возвращаемся к x и In.
,
;
;
.
Итак, для In мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл In к I1.
Пример
Все примеры Вычислить интеграл
Решение
1. Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;
.
Здесь
.
2. Вычисляем интеграл от самой простой дроби.
.
3. Применяем формулу приведения:
для интеграла .
В нашем случае b = 1, c = 1, 4c – b 2 = 3. Выписываем эту формулу для n = 2 и n = 3:
;
.
Отсюда
.
Окончательно имеем:
.
Находим коэффициент при .
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: