Примеры умножения многочленов столбиком
Многочлены можно умножать столбиком тем же способом, что и целые числа. Только старшие разряды, возникающие при умножении чисел с произведением, превышающим 9, не нужно переносить в соседний слева столбец. Далее рассмотрены следующие примеры:
( x 3 + 2x 2 + 5x + 3 )( x 2 + 8x + 2 ) ( x 3 – 2x + 7 )( x 3 + 3x 2 – 5 )
Пример 1
Все примеры Найти произведение многочленов:
( x 3 + 2x 2 + 5x + 3 )( x 2 + 8x + 2 ) .
Решение
Умножаем многочлены столбиком.
| × | x3 | +2x2 | +5x | +3 | ||
| +x2 | +8x | +2 | ||||
| + | 2x3 | +4x2 | +10x | +6 | ||
| 8x4 | +16x3 | +40x2 | +24x | |||
| x5 | +2x4 | +5x3 | +3x2 | |||
| x5 | +10x4 | +23x3 | +47x2 | +34x | +6 |
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
2 ⋅ ( x 3 + 2x 2 + 5x + 3 ) = 2x 3 + 4x 2 + 10x + 6 .
Результат записываем в столбик.
2.2 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
8x ⋅ ( x 3 + 2x 2 + 5x + 3 ) = 8x 4 + 16x 3 + 40x 2 + 24x .
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .
2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
x 2 ⋅ ( x 3 + 2x 2 + 5x + 3 ) = x 5 + 2x 4 + 5x 3 + 3x 2 .
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .
3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x :
10x + 24x = 34x ;
4x 2 + 40x 2 + 3x 2 = 47x 2 ;
2x 3 + 16x 3 + 5x 3 = 23x 3 ;
8x 4 + 2x 4 = 10x 4 .
| × | 1 | 2 | 5 | 3 | ||
| 1 | 8 | 2 | ||||
| + | 2 | 4 | 10 | 6 | ||
| 8 | 16 | 40 | 24 | |||
| 1 | 2 | 5 | 3 | |||
| 1 | 10 | 23 | 47 | 34 | 6 |
Ответ
( x 3 + 2x 2 + 5x + 3 )( x 2 + 8x + 2 ) = x 5 + 10x 4 + 23x 3 + 47x 2 + 34x + 6 .
Пример 2
Все примеры Найти произведение многочленов столбиком:
( x 3 – 2x + 7 )( x 3 + 3x 2 – 5 ) .
Решение
При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.
В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
( x 3 + 0 ⋅ x 2 – 2x + 7 ) ⋅ ( x 3 + 3x 2 + 0 ⋅ x – 5 ) .
Умножаем многочлены столбиком.
| × | x3 | +0·x2 | –2x | +7 | |||
| x3 | +3x2 | +0·x | –5 | ||||
| + | –5x3 | +0·x2 | +10x | –35 | |||
| 3x5 | +0·x4 | –6x3 | +21x2 | ||||
| x6 | 0·x5 | –2x4 | +7x3 | ||||
| x6 | +3x5 | –2x4 | –4x3 | +21x2 | +10x | –35 |
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
– 5 ⋅ ( x 3 + 0 ⋅ x 2 – 2x + 7 ) = – 5x 3 + 0 ⋅ x 2 + 10x – 35 .
Результат записываем в столбик.
2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.
2.3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
3x 2 ⋅ ( x 3 + 0 ⋅ x 2 – 2x + 7 ) = 3x 5 + 0 ⋅ x 4 – 6x 3 + 21x 2 .
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .
2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
x 3 ⋅ ( x 3 + 0 ⋅ x 2 – 2x + 7 ) = x 6 + 0 ⋅ x 5 – 2x 4 + 7x 3 .
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .
3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x :
– 5x 3 – 6x 3 + 7x 3 = – 4x 3 .
| × | 0 | –2 | 7 | ||||
| 3 | 0 | –5 | |||||
| + | –5 | 0 | 10 | –35 | |||
| 3 | 0 | –6 | 21 | ||||
| 1 | 0 | –2 | 7 | ||||
| 1 | 3 | –2 | –4 | 21 | 10 | –35 |
Ответ
( x 3 – 2x + 7 )( x 3 + 3x 2 – 5 ) = x 6 + 3x 5 – 2x 4 – 4x 3 + 21x 2 + 10x – 35 .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: