Вычисление интегралов тригонометрическими и гиперболическими подстановками
Рассмотрим интегралы вида
,
где R – рациональная функция. То есть функция, составленная из своих аргументов и произвольных постоянных с помощью конечного числа операций сложения, умножения и деления. Такие интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. В ряде случаев, такой метод вычисления интегралов является самым простым.
Предварительные преобразования
Для применения тригонометрических и гиперболических подстановок, нужно привести квадратный двучлен к сумме или разности квадратов, выполняя следующее преобразование:
После чего подстановкой
,
в зависимости от значений постоянных p, q, r, интеграл приводится к одному из трех видов:
;
;
.
Далее мы считаем, что a > 0.
Тригонометрические и гиперболические подстановки
Суть метода состоит в том, чтобы применяя формулы:
,
,
свести квадратный корень к рациональным тригонометрическим или гиперболическим функциям. И тем самым, все подынтегральное выражение будет рациональной тригонометрической или гиперболической функцией. Методы вычисления таких интегралов даны на странице Интегрирование тригонометрических рациональных функций > > >.
Иногда такие подстановки приводят к более коротким вычислениям, чем другие методы.
Ниже приводятся формулы для основных тригонометрических и гиперболических подстановок. Для их применения важно помнить, что квадратный корень имеет неотрицательное значение. Поэтому например, . Если , то мы пишем: . Для положительных значений t мы выбираем верхний знак ( в данном примере ′+′). Для отрицательных – нижний знак (′–′).
Также упомянем еще следующее обстоятельство. Некоторые подстановки охватывают не все значения области определения переменной интегрирования x. Например подстановка x = a ch t, a > 0, t ≥ 0 дает значения интеграла при x ≥ a. Чтобы получить значения интеграла при x ≤ – a, нужно сделать вторую подстановку x = – a ch t, t ≥ 0. Вместе эти подстановки можно записать в виде:
x = ± a ch t.
Тогда во всех последующих формулах верхний знак будет относиться к положительным x, а нижний – к отрицательным.
1. Интегралы с корнем из a 2 – x 2
Рассмотрим интеграл:
, a > 0.
1.1. Подстановка x = a sin t
;
;
.
1.2. Подстановка x = a th t
;
;
.
1.3. Подстановка x = a / ch t
;
;
.
Для положительных x нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.
2. Интегралы с корнем из x 2 + a 2
Рассмотрим интеграл:
, a > 0.
2.1. Подстановка x = a sh t
;
;
.
2.2. Подстановка x = a tg t
;
;
.
2.3. Подстановка x = a / sh t
;
;
.
Для положительных t нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.
3. Интегралы с корнем из x 2 – a 2
Рассмотрим интеграл:
, a > 0.
3.1. Подстановка x = a ch t
;
;
.
Положительным x соответствует верхний знак. Отрицательным – нижний.
3.2. Подстановка x = a cth t
;
;
.
Для положительных t нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.
3.3. Подстановка x = a / sin t
;
;
.
Для положительных t нужно брать верхний знак. Для отрицательных – нижний.
Примеры
Пример 1
Решить интеграл:
.
Решение с помощью тригонометрической подстановки
Делаем тригонометрическую подстановку
;
;
.
.
Решение с помощью гиперболической подстановки
Делаем гиперболическую подстановку
;
;
.
Здесь и далее, верхний знак соответствует положительным x. Нижний – отрицательным. Подставляем.
.
Выразим t через x. Из формулы подстановки ,
.
Для гиперболического арккосинуса имеем формулу (см. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы > > >):
.
Тогда
;
Ответ
Пример 2
Решить интеграл:
.
Решение с помощью гиперболической подстановки
Наиболее просто этот интеграл вычисляется с помощью гиперболической подстановки
;
;
.
Подставляем.
(См. Обратные гиперболические функции, их графики и формулы > > >).
Входящую под знаком логарифма дробь можно преобразовать:
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: