Методы интегрирования тригонометрических функций
Основные тригонометрические формулы
Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.
sin2 a + cos2 a = 1
cos a cos b = 12 [cos (a – b ) + cos (a + b )]
sin a sin b = 12 [cos (a – b ) – cos (a + b )]
sin a cos b = 12 [sin (a – b ) + sin (a + b )]
cos 2 a = 12 (1 + cos 2a )
sin 2 a = 12 (1 – cos 2a )
sin a cos a = 12 sin 2a
sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a
cos 2 a = 11 + tg 2 a
sin 2 a = tg 2 a1 + tg 2 a
Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций
Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.
Подстановка t = sin x
Преобразование выполняется по формулам:
cos x dx = dt ;
sin x = t ; cos2 x = 1 – t2 ;
tg 2 x = t 21 – t 2 ; ctg 2 x = 1 – t 2t 2
Подстановка t = cos x
sin x dx = – dt ;
cos x = t ; sin2 x = 1 – t2 ;
tg 2 x = 1 – t 2t 2 ; ctg 2 x = t 21 – t 2
Подстановка t = tg x
dxcos 2 x = dt ; dx = dt1 + t 2 ;
tg x = t ; ctg x = 1t ;
sin 2 x = t 21 + t 2 ; cos 2 x = 11 + t 2 .
Подстановка t = ctg x
dxsin 2 x = – dt ; dx = – dt1 + t 2 ;
ctg x = t ; tg x = 1t ;
sin 2 x = 11 + t 2 ; cos 2 x = t 21 + t 2 .
Подстановка t = tg (x/2)
t = tg x2 ;
dt = 1cos 2 x2 d x2 = 1 + t 22 dx ;
dx = 2dt1 + t 2 ;
sin x = 2 sin x2 cos x2 = 2 sin x2cos x2 cos 2 x2 = 2t1 + t 2 ; cos x = cos 2 x2 – sin 2 x2 = 1 – t 21 + t 2 ;
tg x = 2t1 – t 2 ; ctg x = 1 – t 22t .
Интегрирование обратных тригонометрических функций
Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ , arctg φ , и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x , нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ , u = arctg φ , и т.д.
Примеры таких интегралов:
∫ x arcsin x dx(1 – x 2 ) √ 1 – x 2 , ∫ x 7 arctg x dx , ∫ arcsin xx 2 dx .
Подробнее >>>
Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций
Общий подход
Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.
Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b) , то следует выполнить преобразование:
cos (x+b) = cos (x+a – (a–b) ) = cos (x+a) cos (b–a) + sin ( x+a ) sin (b–a) .
После чего сделать замену z = x+a . В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z .
Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z , cos z , tg z , ctg z , то нужно сделать подстановку
t = tg z2 .
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.
Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.
Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x
Рациональные функции от sin x и cos x – это функции, образованные из sin x , cos x и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: R(sin x, cos x) . Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот.
Интегралы от рациональных функций имеют вид:
∫ R( sin x, cos x ) dx .
Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.
1) Подстановка t = tg x2 всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.
2) Если R(sin x, cos x) умножается на –1 при замене cos x → – cos x , то выполняется подстановка t = sin x .
3) Если R(sin x, cos x) умножается на –1 при замене sin x → – sin x , то выполняется подстановка t = cos x .
4) Если R(sin x, cos x) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x , и sin x → – sin x , то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x .
Примеры:
∫ cos 5 x + cos 3 xsin 4 x + sin 2 x dx , ∫ sin 2 x1 + sin 2 x dx , ∫ dx2 sin x – cos x + 5 .
Подробнее >>>
Произведение степенных функций от cos x и sin x
Интегралы вида
In, m = ∫ sin m x cos n x dx
являются интегралами от рациональных тригонометрических функций. Поэтому к ним можно применить методы, изложенные в предыдущем разделе. Ниже рассмотрены методы, основанные на специфике таких интегралов.
Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.
Если m и n – целые числа, то интегрирование выполняется с помощью формул приведения:
(m + n )Im, n = – sin m – 1 x cos n + 1 x + (m – 1 )Im – 2, n ;
(m + n )Im, n = sin m + 1 x cos n – 1 x + (n – 1 )Im, n – 2 ;
(n + 1 )Im, n = – sin m – 1 x cos n + 1 x + (m – 1 )Im – 2, n + 2 ;
(m + 1 )Im, n = sin m + 1 x cos n – 1 x + (n – 1 )Im + 2, n – 2 .
Пример:
∫ sin 10 xcos 4 x dx .
Подробнее >>>
Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса
Интегралы вида:
∫ P(x ) cos ax dx , ∫ P(x ) sin ax dx ,
где P(x) – многочлен от x , интегрируются по частям. При этом получаются следующие формулы:
∫ P(x ) cos ax dx = sin axa [ P(x ) – P ′′(x )a 2 + P (IV ) (x )a 4 – ... ] + cos axa [ P ′(x ) – P ′′′(x )a 2 + P (V ) (x )a 4 – ... ] ;
∫ P(x ) sin ax dx = – cos axa [ P(x ) – P ′′(x )a 2 + P (IV ) (x )a 4 – ... ] + sin axa [ P ′(x ) – P ′′′(x )a 2 + P (V ) (x )a 4 – ... ] .
Примеры:
∫ x 2 sin (2x + 3 ) dx , ∫ (x 2 + 3x + 5 ) cos 2x dx .
Подробнее >>>
Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса
Интегралы вида:
∫ P(x ) cos ax e bx dx , ∫ P(x ) sin ax e bx dx ,
где P(x) – многочлен от x , интегрируются с помощью формулы Эйлера
eiax = cos ax + isin ax (где i2 = –1).
Для этого методом, изложенном в предыдущем пункте, вычисляют интеграл
∫ P(x ) cos ax e bx dx + i ∫ P(x ) sin ax e bx dx = ∫ P(x )e iax e bx dx = ∫ P(x )e (b + ia )x dx .
Выделив из результата действительную и мнимую часть, получают исходные интегралы.
Пример:
∫ x 2 sin x e x dx .
Подробнее >>>
Нестандартные методы интегрирования тригонометрических функций
Ниже приведены ряд нестандартных методов, которые позволяют выполнить или упростить интегрирование тригонометрических функций.
Зависимость от (a sin x + b cos x)
Если подынтегральное выражение зависит только от a sin x + b cos x , то полезно применить формулу:
a sin x + b cos x = √ a 2 + b 2 sin (x + φ ) ,
где tg φ = ba .
Например
∫ dxsin x + cos x = 1√ 2 ∫ dxsin (x + π4 ) = 1√ 2 ∫ dxsin (2(x2 + π8 )) = 12 √ 2 ∫ dxsin (x2 + π8 ) cos (x2 + π8 ) = 1√ 2 ∫ d(x2 + π8 )tg (x2 + π8 ) cos 2 (x2 + π8 ) = 1√ 2 ∫ d tg (x2 + π8 )tg (x2 + π8 ) = 1√ 2 ln | tg ( x2 + π8 ) | + C
Разложение дроби из синусов и косинусов на более простые дроби
Рассмотрим интеграл
∫ dxsin (x + a ) sin (x + b ) .
Наиболее простой способ интегрирования заключается в разложении дроби на более простые, применяя преобразование:
sin(a – b) = sin(x + a – (x + b) ) = sin(x+a) cos(x+b) – cos(x+a) sin(x+b)
Интегрирование дробей первой степени
При вычислении интеграла
∫ a1 sin x + b1 cos xa sin x + b cos x dx ,
удобно выделить целую часть дроби и производную знаменателя
a1sin x + b1cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Постоянные A и B находятся из сравнения левой и правой частей.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: