Методы разложения многочленов на множители

Доказано, что для разложения многочлена на множители, нужно найти его корни. Формулы корней квадратного многочлена. Метод нахождения целых корней. Метод разложения на множители биквадратного многочлена и приводящихся к квадратным. Возвратные многочлены.

Основа метода

Пусть
P_n (z ) = a_n zⁿ  + a_n – 1 z^n – 1  + ... + a₁ z + a₀
– многочлен степени n ≥ 1 от действительной или комплексной переменной z с действительными или комплексными коэффициентами a_i . Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1

Докажем следующую лемму.

Лемма 1

Доказательство

Разложение многочлена на множители

Итак, на основании теоремы 1, многочлен P_n(z) имеет хотя бы один корень. Обозначим его как z₁ , P_n(z₁ ) = 0 . Тогда на основании леммы 1:
P_n(z) = (z – z₁)P_n–1(z) .
Далее, если n > 1 , то многочлен P_n–1(z) также имеет хотя бы один корень, который обозначим как z₂ , P_n–1(z₂ ) = 0 . Тогда
P_n–1(z) = (z – z₂)P_n–2(z) ;
P_n(z) = (z – z₁)(z – z₂)P_n–2(z) .

Продолжая этот процесс, мы приходим к выводу, что существует n чисел z₁, z₂, ... , z_n таких, что
P_n(z) = (z – z₁)(z – z₂) ... (z – z_n)P₀(z) .
Но P₀(z) – это постоянная. Приравнивая коэффициенты при z ⁿ , находим что она равна a_n . В результате получаем формулу разложения многочлена на множители:
(1)   P_n(z) = a_n(z – z₁)(z – z₂) ... (z – z_n) .

Числа z_i являются корнями многочлена P_n(z) .

В общем случае не все z_i , входящие в (1), различны. Среди них могут оказаться одинаковые значения. Тогда разложение многочлена на множители (1) можно записать в виде:
(2)   P_n(z) = a_n(z – z₁) ^n₁ (z – z₂)^n₂ ... (z – z_k)^n_k  ;
^kΣ_i = 1 n_i  = n .
Здесь z_i ≠ z_j при i ≠ j . Если n_i = 1 , то корень z_i называется простым. Он входит в разложение на множители в виде (z–z_i) . Если n_i > 1 , то корень z_i называется кратным корнем кратности n_i . Он входит в разложение на множители в виде произведения n_i простых множителей: (z–z_i)(z–z_i) ... (z–z_i) = (z–z_i)^n_i .

Многочлены с действительными коэффициентами

Далее мы считаем, что многочлен
P_n (z ) = a_n zⁿ  + a_n – 1 z^n – 1  + ... + a₁ z + a₀
имеет действительные коэффициенты a_i .

Лемма 2

Доказательство

Таким образом, комплексные корни входят в разложение на множителями парами со своими комплексно сопряженными значениями:
(z – z_i )(z – z_i ) = z²  – (z_i  + z_i )z +  | z_i  | ²  = z²  + b_i z + c_i ,
где b_i  = – 2 Re (z_i ) , c_i  =  | z_i  | ²   – действительные числа.
Тогда разложение (2) многочлена с действительными коэффициентами на множители можно представить в виде, в котором присутствуют только действительные постоянные:
(3)   P_n (z ) = a_n (z – z₁ )^n₁ ... (z – z_k )^n_k  ⋅ (z²  + b_k + 1 z + c_k + 1 )^n_k + 1 ... (z²  + b_k + m z + c_k + m )^n_k + m ;
^kΣ_i = 1 n_i  + ^mΣ_i = 1 n_k + i  = n .

Методы разложения многочлена на множители

С учетом сказанного выше, для разложения многочлена на множители, нужно найти все корни уравнения P_n(z) = 0 и определить их кратность. Множители с комплексными корнями нужно сгруппировать с комплексно сопряженными. Тогда разложение определяется по формуле (3).

Таким образом, метод разложения многочлена на множители заключается в следующем:
1.   Находим корень z₁ уравнения P_n(z₁) = 0 .
2.1.   Если корень z₁ действительный, то в разложение добавляем множитель (z – z₁) и делим многочлен P_n(z) на (z – z₁) . В результате получаем многочлен степени n – 1 :
P_n – 1 (z ) = P_n (z )z – z₁ .
Далее повторяем процесс для многочлена P_n–1(z) , начиная с пункта 1, пока не найдем все корни.
2.2.   Если корень  z₁  = x₁  + iy₁  комплексный, то и комплексно сопряженное число z₂  = z₁  = x₁  – iy₁ является корнем многочлена. Тогда в разложение входит множитель
(z – z₁ )(z – z₁ ) = (z – x₁  – iy₁ )(z – x₁  + iy₁ ) =
 z²  – 2x₁ z + x²₁  + y²₁  = z²  + b₁ z + c₁ ,
где b₁ = – 2 x₁ , c₁ = x₁² + y₁² .
В этом случае, в разложение добавляем множитель (z ² + b₁z + c₁) и делим многочлен P_n(z) на (z ² + b₁z + c₁) . В результате получаем многочлен степени n – 2 :
P_n – 2 (z ) = P_n (z )z²  + b₁ z + c .
Далее повторяем процесс для многочлена P_n–2(z) , начиная с пункта 1, пока не найдем все корни.

Нахождение корней многочлена

Главной задачей, при разложении многочлена на множители, является нахождение его корней. К сожалению, не всегда это можно сделать аналитически. Здесь мы разберем несколько случаев, когда можно найти корни многочлена аналитически.

Корни многочлена первой степени

Многочлен первой степени – это линейная функция. Она имеет один корень. Разложение имеет только один множитель, содержащий переменную z :
P₁ (z ) = a₁ z + a₀  = a₁ ( z + a₀a₁  ) .

Корни многочлена второй степени

Чтобы найти корни многочлена второй степени, нужно решить квадратное уравнение:
P₂(z) = a₂z ² + a₁z + a₀ = 0 .
Если дискриминант   D = a²₁  – 4a₂ a₀  > 0 , то уравнение имеет два действительных корня:
z₁  = – a₁  – √ D 2a₂ ,   z₂  = – a₁  + √ D 2a₂ .
Тогда разложение на множители имеет вид:
P₂ (z ) = a₂ (z – z₁ )(z – z₂ ) .
Если дискриминант D = 0 , то уравнение имеет один двукратный корень:
z₁  = z₂  = – a₁2a₂ ;
P₂ (z ) = a₂ (z – z₁ )² .
Если дискриминант D < 0 , то корни уравнения комплексные,
P₂ (z ) = a₂ ( z²  + a₁a₂ z + a₀a₂  ) .

Многочлены степени выше второй

Существуют формулы для нахождения корней многочленов 3-ей и 4-ой степеней. Однако ими редко пользуются, поскольку они громоздкие. Формул для нахождения корней многочленов степени выше 4-ой нет. Несмотря на это, в некоторых случаях, удается разложить многочлен на множители.

Нахождение целых корней

Если известно, что многочлен, у которого коэффициенты – целые числа, имеет целый корень, то его можно найти, перебрав все возможные значения.

Лемма 3

Пусть многочлен
P_n (z ) = a_n zⁿ  + a_n – 1 z^n – 1  + ... + a₁ z + a₀ ,
коэффициенты a_i которого – целые числа, имеет целый корень z₁ . Тогда этот корень является делителем числа a₀ .

Доказательство

Поэтому, если коэффициенты многочлена – целые числа, то можно попытаться найти целые корни. Для этого нужно найти все делители свободного члена a₀ и, подстановкой в уравнение P_n(z) = 0 , проверить, являются ли они корнями этого уравнения.
Примечание. Если коэффициенты многочлена – рациональные числа,   a_i  = M_iN_i , то умножая уравнение P_n(z) = 0 на общий знаменатель чисел a_i , получим уравнение для многочлена с целыми коэффициентами.

Нахождение рациональных корней

Если коэффициенты многочлена – целые числа и целых корней нет, то при a_n ≠ 1 , можно попытаться найти рациональные корни. Для этого нужно сделать подстановку
z = y/a_n
и умножить уравнение на a_n^n-1 . В результате мы получим уравнение для многочлена от переменной y с целыми коэффициентами.Далее ищем целые корни этого многочлена среди делителей свободного члена. Если мы нашли такой корень y_i  , то перейдя к переменной x , получаем рациональный корень
z_i = y_i  /a_n .

Полезные формулы

Приведем формулы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители.
a²  + 2ab + b²  = (a + b )²
a³  + 3a² b + 3ab²  + b³  = (a + b )³
a²  – b²  = (a – b )(a + b )
a³  – b³  = (a – b )(a²  + ab + b² )
a³  + b³  = (a + b )(a²  – ab + b² )
a⁴  – b⁴  = ( a²  )²  – ( b²  )²  = (a – b )(a + b )(a²  + b² )

В более общем случае, чтобы разложить многочлен
P_n(z) = zⁿ – a₀ ,
где a₀ – комплексное, нужно найти все его корни, то есть решить уравнение:
zⁿ = a₀ .
Это уравнение легко решается, если выразить a₀ через модуль r и аргумент φ :
a₀  = re^iφ .
Поскольку a₀ не изменится, если к аргументу прибавить 2π , то представим a₀ в виде:
a₀  = re^{i(φ + 2πk )} ,
где k – целое. Тогда
zⁿ  = re^{i(φ + 2πk )} ;
z_k  = ⁿ√ r   e^{i φ + 2πkn}  = ⁿ√ r   ( cos φ + 2πkn + i sin φ + 2πkn  ) .
Присваивая k значения k = 0, 1, 2, ... n–1 , получаем n корней многочлена. Тогда его разложение на множители имеет вид:
P_n (z ) = zⁿ  – a₀  = ^n – 1Π_k = 0 (z – z_k ) .

Биквадратный многочлен

Рассмотрим биквадратный многочлен:
z⁴  + a₂ z²  + a₀ .
Биквадратный многочлен можно разложить на множители, без нахождения корней.

При   ( a₂2  )²  ≥ a₀ , имеем:
z⁴  + a₂ z²  + a₀  = z⁴  + 2 a₂2 z²  + ( a₂2  )²  – ( a₂2  )²  + a₀  = ( z²  + a₂2  )²  – b²  =
 ( z²  + a₂2 – b  )( z²  + a₂2 + b  ) ,
где   b = √ ( a₂2  )²  – a₀  .

При   a₀  ≥ ( a₂2  )² , имеем:
z⁴  + a₂ z²  + a₀  = z⁴  + 2 √ a₀  z²  + a₀  – 2 √ a₀  z²  + a₂ z²  = ( z²  + √ a₀   )²  – c² z²  =
 ( z²  + √ a₀  – cz  )( z²  + √ a₀  + cz  ) = ( z²  – cz + √ a₀   )( z²  + cz + √ a₀   ) ,
где   c = √ 2 √ a₀  – a₂  .

Далее раскладываем квадратные многочлены на множители, если соответствующие многочлены имеют действительные корни.

Бикубический и многочлены, приводящиеся к квадратному

Рассмотрим многочлен:
P_2n (z ) = a_2n z²ⁿ  + a_n zⁿ  + a₀ .
Его корни определяются из уравнения:
a_2n z²ⁿ  + a_n zⁿ  + a₀  = 0 .
Оно приводится к квадратному уравнению подстановкой t = zⁿ :
a_2n t² + a_n t + a₀ = 0 .
Решив это уравнение, найдем его корни, t₁ , t₂ . После чего находим разложение в виде:
a_2n z²ⁿ  + a_n zⁿ  + a₀  = a_2n (zⁿ  – t₁ )(zⁿ  – t₂ ) .
Далее методом, указанным выше, раскладываем на множители zⁿ – t₁ и zⁿ – t₂ . В заключении группируем множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Возвратные многочлены

Многочлен   P_n (z ) = a_n zⁿ  + a_n – 1 z^n – 1  + ... + a₁ z + a₀   называется возвратным, если его коэффициенты симметричны:
a_n  = a₀ ,  a_n – 1  = a₁ ,  a_n – 2  = a₂ ,...
Пример возвратного многочлена:
3z⁵  + 2z⁴  – 7z³  – 7z²  + 2z + 3 .

Если степень возвратного многочлена n – нечетна, то такой многочлен имеет корень z = –1 . Разделив такой многочлен на z + 1 , получим возвратный многочлен степени n – 1 .
Если степень возвратного многочлена n – четна, то подстановкой   u = z + 1z , он приводится к многочлену степени n/2 . См. Пример с возвратным многочленом >>>.

См. далее Примеры разложения многочленов на множители > > >

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 11-06-2015   Изменено: 30-04-2016