Интегрирование методом замены переменной

Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x(t) , или t = t(x) . Например,   x = ln t ,   x = sin t ,   t = 2x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f(x) и дифференциала dx :   ∫  f (x ) dx . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x(t) . Тогда мы должны выразить функцию f(x) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f(x) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x(t) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
dx = dxdt dt = x^′(t ) dt .
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

Тогда
∫  f (x ) dx = ∫  f (x(t )) x^′(t ) dt .

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t(x) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
 f (x ) = g(t(x )) t^′(x ) ,
где t′(x) – это производная t по x , то
∫  f (x ) dx = ∫ g(t(x )) t^′(x ) dx = ∫ g(t(x ))  dtdx  dx = ∫ g(t ) dt .

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1)   ∫  f (x ) dx = ∫  f (x(t )) x^′(t ) dt ,
где x – это функция от t .
(2)   ∫ g(t(x )) t^′(x ) dx = ∫ g(t ) dt ,
где t – это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое-либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
∫ dxx²  + a² = 1a arctg xa + C .

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
∫ dtt²  + a² = 1a arctg ta + C ;
∫ duu²  + a² = 1a arctg ua + C ;
∫ d(x²  + x )(x²  + x )²  + a² = 1a arctg (x²  + x )a + C .

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
d(x²  + x ) = d(x²  + x )dx dx ≡ (x²  + x )^′ dx = (2x + 1 ) dx .
Тогда
∫ (2x + 1 ) dx(x²  + x )²  + a² = 1a arctg (x²  + x )a + C .

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
(2x + 1 ) dx = (x²  + x )^′ dx = d(x²  + x )dx dx = d(x²  + x ) .
После чего интеграл сводится к табличному.
∫ (2x + 1 ) dx(x²  + x )²  + a² = ∫ d(x²  + x )(x²  + x )²  + a² = 1a arctg (x²  + x )a + C .

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x² + x . Тогда
t^′(x ) = (x²  + x )^′ = 2x + 1 ;
t^′(x ) dx = dtdx dx = dt ;
∫ (2x + 1 ) dx(x²  + x )²  + a² = ∫ t^′(x ) dxt²  + a² = ∫ dtt²  + a² = 1a arctg ta + C =
 1a arctg x²  + xa + C .

Примеры интегрирования

Ниже рассмотрены примеры вычислений следующих интегралов:
I₁  = ∫ sin³ x cos x dx   I₂  = ∫ arctg xx²  + 1 dx   I₃  = ∫ x dx(x²  + 1 )² dx   ∫ dx3x + 2   ∫ 2^x  dx   ∫ dxx²  + 6x + 13   I = ∫ dx√ 2x²  + 3x    ∫ cos x sin 3x dx  

1)   Вычислим интеграл
I₁  = ∫ sin³ x cos x dx .
Замечаем, что   (sin x)′ = cos x . Тогда
I₁  = ∫ sin³ x cos x dx = ∫ sin³ x ⋅ d sin xdx ⋅ dx = ∫ sin³ x d(sin x ) = ∫ t³  dt =
 13 + 1 t⁴  + C = 14 sin⁴ x + C .
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2)   Вычислим интеграл   (Все примеры)
I₂  = ∫ arctg xx²  + 1 dx .
Замечаем, что   (arctg x )^′ = 1x²  + 1 . Тогда
I₂  = ∫ arctg xx²  + 1 dx = ∫ arctg x ⋅ d arctg xdx ⋅ dx = ∫ arctg x d(arctg x ) = ∫ t¹  dt =
 11 + 1 t²  + C = 12 arctg² x + C .
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3)   Проинтегрируем   (Все примеры)
I₃  = ∫ x dx(x²  + 1 )² dx .
Замечаем, что (x²  + 1 )^′ = 2x,  x = 12 (x²  + 1 )^′ . Тогда
I₃  = ∫ x dx(x²  + 1 )² dx = 12 ∫ (x²  + 1 )^– 2  ⋅ d(x²  + 1 )dx ⋅ dx = 12 ∫ (x²  + 1 )^– 2  d(x²  + 1 ) =
 12 ∫ t^– 2  dt = 12 ⋅ 1– 2 + 1 ⋅ t^{– 2 + 1}  + C = – 12 t^– 1  + C = – 12t + C = – 12(x²  + 1 ) + C . Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x² + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
dt = (ax + b )^′ dx = a dx;  dx = 1a dt .

Примеры интегрирования линейными подстановками

A)   Вычислить интеграл   (Все примеры)
∫ dx3x + 2 .
Решение.
∫ dx3x + 2 = 13 ∫ d(3x + 2 )3x + 2 = 13 ∫ dtt = 13 ln  | t |  + C = 13 ln  | 3x + 2 |  + C .

B)   Найти интеграл   (Все примеры)
∫ 2^x  dx .
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
2 = e^ln 2 ,  2^x  = ( e^ln 2  )^x  = e^{(ln 2 ) ⋅ x} .
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.
∫ 2^x  dx = ∫ e^{(ln 2 ) ⋅ x}  dx = 1ln 2 ∫ e^{(ln 2 ) ⋅ x}  d((ln 2 ) ⋅ x ) = 1ln 2 ∫ e^t  dt = 1ln 2 e^t  + C =
 1ln 2 e^{(ln 2 ) ⋅ x}  + C = 1ln 2 2^x  + C .

C)   Вычислить интеграл   (Все примеры)
∫ dxx²  + 6x + 13 .
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
x²  + 6x + 13 = x²  + 2 ⋅ 3x + 3²  + 4 = (x + 3 )²  + 2² .
Вычисляем интеграл.
∫ dxx²  + 6x + 13 = ∫ d(x + 3 )(x + 3 )²  + 2² = ∫ dtt²  + 2² = 12 arctg t2 + C =
 12 arctg x + 32 + C .

D)   Найти интеграл   (Все примеры)
I = ∫ dx√ 2x²  + 3x  .
Решение.
Преобразуем многочлен под корнем.
2x²  + 3x = 2( x²  + 32 x  ) = 2( x²  + 2 ⋅ 34 x + ( 34  )²  – ( 34  )²  ) =
 2( ( x + 34  )²  – ( 34  )²  ) .
Интегрируем, применяя метод замены переменной   t = x + 34 .
∫ dx√ 2x²  + 3x  = ∫d( x + 34  )√ 2( ( x + 34  )²  – ( 34  )²  )  = 1√ 2  ∫dt√ t²  – ( 34  )²  =
 1√ 2  ln |  t + √ t²  – ( 34  )²    | + C = 1√ 2  ln |  x + 34 + √ ( x + 34  )²  – ( 34  )²    | + C .
Ранее мы получили формулу
2x²  + 3x = 2( ( x + 34  )²  – ( 34  )²  ) .
Отсюда
( x + 34  )²  – ( 34  )²  = x²  + 32 x .
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.
I = 1√ 2  ln |  x + 34 + √ x²  + 32 x    | + C

E)   Вычислить интеграл   (Все примеры)
∫ cos x sin 3x dx .
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса.
sin a cos b = 12 ( sin (a – b ) + sin (a + b ) ) ;
sin 3x cos x = 12 ( sin (3x – x ) + sin (3x + x ) ) = 12 ( sin 2x + sin 4x  ) .
Интегрируем и делаем подстановки.
∫ cos x sin 3x dx = 12 ∫ sin 2x dx + 12 ∫ sin 4x dx =
 14 ∫ sin 2x d(2x ) + 18 ∫ sin 4x d(4x ) = 14 ∫ sin t dt + 18 ∫ sin u du =
 – 14 cos t – 18 cos u + C = – 14 cos 2x – 18 cos 4x + C .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 06-09-2015