Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы от дифференциального бинома сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях, при определенных соотношениях между показателями степеней. Даны три подстановки, которые приводят к интегралу от рациональной функции. Даны формулы приведения, связывающие интегралы с различными значениями показателей степеней. Подробно разобран пример вычисления интеграла от дифференциального бинома.

Применяемые подстановки

Рассмотрим интеграл:
I_m, p  = ∫ x^m (axⁿ  + b )^p dx ,
где m, n, p – рациональные числа, a, b – действительные числа.
Подынтегральное выражение называется дифференциальным биномом. Интеграл от него сводится к интегралам от рациональных функций в трех случаях.

  1)   Если p – целое, то выполняется подстановка x = t ^N , где N – общий знаменатель дробей m и n .
  2)   Если m + 1n – целое, то подстановка a x ⁿ + b = t ^M , где M – знаменатель числа p .
  3)   Если m + 1n + p – целое, подстановка a + b x ^{– n} = t ^M , где M – знаменатель числа p .

Если ни одно из трех чисел   p,  m + 1n ,  m + 1n + p   не является целым числом, то по теореме Чебышева интегралы данного вида не могут быть выражены конечной комбинацией элементарных функций.

Формулы приведения (понижения или повышения показателей степеней)

В ряде случаев, сначала бывает полезным привести интеграл к более удобным значениям показателей степеней m и p . Это можно сделать с помощью формул приведения:
a(m + np + 1 )I_m, p  = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – b(m – n + 1 )I_{m – n, p} ;
(m + np + 1 )I_m, p  = x^m + 1 (axⁿ  + b )^p  + bnpI_{m, p – 1} .

Доказательство формул приведения

Доказательство первой формулы

Докажем первую формулу:
a(m + np + 1 )I_m, p  = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – b(m – n + 1 )I_{m – n, p}

Выполняем преобразования.
(axⁿ  + b )^p x^n – 1  dx = (axⁿ  + b )^p 1n  dxⁿ  = 1na (axⁿ  + b )^p  d(axⁿ  + b ) = 1na(p + 1 )  d(axⁿ  + b )^p + 1
I_m,p  = ∫ x^m (axⁿ  + b )^p  dx = ∫ x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p x^n – 1  dx = 1na(p + 1 ) ∫ x^{m – n + 1}  d(axⁿ  + b )^p + 1
Интегрируем по частям, умножив на na(p+1) .
u = x^m–n+1 , v = (axⁿ + b) ^p+1 , du = (x^m–n+1)′ dx = (m–n+1) x^m–n dx .
na(p + 1 )I_m,p  = ∫ u dv = uv – ∫ v du = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – (m – n + 1 ) ∫ x^m – n (axⁿ  + b )^p + 1  dx
Преобразуем оставшийся интеграл.
∫ x^m – n (axⁿ  + b )^p + 1  dx = ∫ x^m – n (axⁿ  + b )(axⁿ  + b )^p  dx = a ∫ x^m – n xⁿ (axⁿ  + b )^p  dx + b ∫ x^m – n (axⁿ  + b )^p  dx = aI_m,p  + bI_{m – n,p}
Подставляем.
na(p + 1 )I_m,p  = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – (m – n + 1 )(aI_m,p  + bI_{m – n,p} )
Отсюда
[na(p + 1 ) + (m – n + 1 )a ]I_m,p  = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – b(m – n + 1 )I_{m – n,p}
Или
a(m + np + 1 )I_m, p  = x^{m – n + 1} (axⁿ  + b )^p + 1  – b(m – n + 1 )I_{m – n, p} .

Доказательство второй формулы

Докажем вторую формулу:
(m + np + 1 )I_m, p  = x^m + 1 (axⁿ  + b )^p  + bnpI_{m, p – 1} .

Выполняем преобразования.
x^m  dx = 1m + 1  dx^m + 1
I_m,p  = ∫ (axⁿ  + b )^p x^m  dx = 1m + 1 ∫ (axⁿ  + b )^p  dx^m + 1
Интегрируем по частям, умножив на m + 1 .
u = (axⁿ + b)^p , v = x^m+1 , du = ( (axⁿ  + b )^p  )^′ dx = p(axⁿ  + b )^p – 1 (axⁿ  + b )^′ dx = nap(axⁿ  + b )^p – 1 x^n – 1  dx
(m + 1 )I_m,p  = ∫ u dv = uv – ∫ v du = x^m + 1 (axⁿ  + b )^p  – nap ∫ x^m + n (axⁿ  + b )^p – 1  dx
Преобразуем оставшийся интеграл.
a ∫ x^m + n (axⁿ  + b )^p – 1  dx = ∫ x^m (axⁿ  + b – b )(axⁿ  + b )^p – 1  dx = ∫ x^m (axⁿ  + b )^p  dx – b ∫ x^m (axⁿ  + b )^p – 1  dx = I_m,p  – bI_{m,p – 1}
Подставляем.
(m + 1 )I_m,p  = x^m + 1 (axⁿ  + b )^p  – np(I_m,p  – bI_{m,p – 1} )
Отсюда
(m + np + 1 )I_m, p  = x^m + 1 (axⁿ  + b )^p  + bnpI_{m, p – 1} .

Пример

Вычислить интеграл.
∫ ³√ x – x³   dx

Решение

Преобразуем.
I = ∫ ³√ x – x³   dx = ∫ ³√ x(1 – x² )   dx = ∫ x^1 / 3 (1 – x² )^1 / 3  dx
Это интеграл от дифференциального бинома
I_m, p  = ∫ x^m (axⁿ  + b )^p dx
со значениями m = 1/3 , p = 1/3 , n = 2 , a = – 1 , b = 1 .
Поскольку
m + 1n + p = 1 / 3 + 12 + 1 / 3 = 4 / 32 + 1 / 3 = 2 / 3 + 1 / 3 = 1 – целое, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции третьей подстановкой:
– 1 + x ^{– 2} = t ³ .

Возьмем дифференциал от обеих частей этого равенства.
( – 1 + x^– 2  )^′ dx = ( t³  )^′ dx
– 2x^– 3  dx = 3t²  dt
Подставляем
I = ∫ x^1 / 3 (1 – x² )^1 / 3  dx = ∫ x^1 / 3 ( x² (x^– 2  – 1 ) )^1 / 3  dx = ∫ x^1 / 3 x^2 / 3 (x^– 2  – 1 )^1 / 3  dx = ∫ x (x^– 2  – 1 )^1 / 3  dx = ∫ – 2x^– 3– 2x^– 4  (x^– 2  – 1 )^1 / 3  dx = ∫ (x^– 2  – 1 )^1 / 3– 2(x^– 2 )² (– 2x^– 3 ) dx = ∫ t– 2(t³  + 1 )² 3t²  dt = – 12 ∫ t (t³  + 1 )^– 2  d(t³  + 1 ) = 12 ∫ t d (t³  + 1 )^– 1

Интегрируем по частям.
I = 12 t (t³  + 1 )^– 1  – 12 ∫ (t³  + 1 )^– 1  dt = t2(t³  + 1 ) – 12 ∫ dtt³  + 1

Разложим дробь на простейшие.
1t³  + 1 = 13 ⋅ t²  – t + 1 – (t – 2 )(t + 1 )(t + 1 )(t²  – t + 1 ) = 13 ⋅ 1t + 1 – 13 ⋅ t – 2t²  – t + 1

Выделим в числителе второй дроби производную знаменателя и преобразуем знаменатель.
(t² – t + 1)′ = 2t – 1
t – 2 = 12 (2t – 1 ) – 32 = 12 (t²  – t + 1 )^′ – 32
t²  – t + 1 = t²  – 2t 12 + 14 + 34 = ( t – 12  )²  + ( √ 3 2  )²

Подставляем
1t³  + 1 = 13 ⋅ 1t + 1 – 13 ⋅ t – 2t²  – t + 1 = 13 ⋅ 1t + 1 – 16 ⋅ (t²  – t + 1 )^′t²  – t + 1 + 12 ⋅ 1( t – 12  )²  + ( √ 3 2  )²

Интегрируем
∫ dxt³  + 1 = 13 ln  | t + 1 |  – 16 ln (t²  – t + 1 ) + 12 ⋅ 2√ 3  ⋅ arctg t – 12√ 3 2 = 16 ln (t + 1 )²  – 16 ln (t²  – t + 1 ) + 1√ 3  arctg 2t – 1√ 3  = 16 ln t²  + 2t + 1t²  – t + 1 + 1√ 3  arctg 2t – 1√ 3 

Окончательно имеем
I = t2(t³  + 1 ) – 12 ∫ dtt³  + 1 = t2(t³  + 1 ) – 112 ln t²  + 2t + 1t²  – t + 1 – 12 √ 3  arctg 2t – 1√ 3 

Ответ

I = t2(t³  + 1 ) – 112 ln t²  + 2t + 1t²  – t + 1 – 12 √ 3  arctg 2t – 1√ 3  + C
где t³  = x^– 2  + 1 .

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 05-12-2014