Производная синуса: (sin x)′
Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x.
Доказательство
Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Все примеры Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x , y = sin 2 x и y = sin 3 x .
Пример 1
Все примерыНайти производную от sin 2x.
Решение
Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Ответ
( sin 2x )′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Все примеры Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x.
Решение
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Ответ
.
Пример 3
Все примеры Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x.
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).
Формула доказана.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: