Вывод производных арксинуса (arcsin x)′ и арккосинуса (arccos x)′
Производная по переменной x от арксинуса x равна единице, деленной на квадратный корень от один минус x в квадрате:
.
Производная по переменной x от арккосинуса x равна минус производной от арксинуса. То есть она равна минус единице, деленной на квадратный корень от один минус x в квадрате:
.
Для вывода этих формул мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса:
(sin x)′ = cos x; (cos x)′ = – sin x.
Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.
Вывод производной арксинуса
По формуле производной обратной функции
Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.
Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2) .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.
Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.
Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.
Второй способ
Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3) .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4) .
Производную правой части находим из таблицы производных:
.
Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.
Подставим в (4):
.
Отсюда
.
Вывод производной арккосинуса
Используя связь между арксинусом и арккосинусом
Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.
По формуле производной обратной функции
Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.
Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.
Применим формулу производной обратной функции:
(1) .
Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5) .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.
Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.
Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.
Второй способ
Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6) .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x:
(7) .
Из таблицы производных находим:
.
Производную левой части найдем по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.
Подставим в (7):
.
Отсюда
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: