Вывод производных высших порядков арктангенса (arctg x) и арккотангенса (arcctg x)
Вывод производных высших порядков арктангенса
Пусть . Считаем, что нам известна производная арктангенса первого порядка:
(1) .
Найдем производные высших порядков. Для этого разложим дробь на простейшие:
.
Здесь – мнимая единица, .
Тогда производную арктангенса первого порядка можно записать в следующем виде:
.
Дифференцируем раз и приводим дроби к общему знаменателю:
.
В числителе стоит разность комплексно сопряженных величин. Поэтому числитель является чисто мнимым. Пусть обозначает мнимую часть стоящего следом выражения. Тогда производную арктангенса n-го порядка можно записать в следующем виде:
(2) .
Здесь выражение в числителе является многочленом степени .
Производные арктангенса со второго по пятый порядок
Вычислим производные арктангенса нескольких высших порядков, используя формулу (2). Для этого мы используем формулу бинома Ньютона:
.
Также используем свойства мнимой единицы:
;
;
.
И так далее.
Производная второго порядка.
При имеем:
;
;
.
Производная третьего порядка.
При имеем:
;
;
.
Производная четвертого порядка.
При получаем:
;
;
.
Наконец, вычислим производную пятого порядка.
Подставим :
;
;
.
Другой вид производных арктангенса высших порядков
Оказывается, что формулу производной арктангенса n-го порядка можно представить в удобном виде, если выразить производную не через независимую переменную x, а через сам арктангенс.
Итак, пусть
.
Используем формулу (2) производной n-го порядка:
(2) .
Подставим :
;
;
;
.
Применим формулу Эйлера. Тогда
;
;
;
.
Тем самым мы получили производную арктангенса n-го порядка, выраженную через сам арктангенс:
(3) .
Здесь .
Производные высших порядков арккотангенса
Чтобы получить производные высших порядков арккотангенса, воспользуемся связью между арктангенсом и арккотангенсом:
(4) .
Дифференцируя это уравнение n раз и учитывая, что производная постоянной равна нулю, получим производную арккотангенса n-го порядка:
(5) .
Другой вид производных арккотангенса высших порядков
Пусть
.
Выразим производную n-го порядка арккотангенса через z. Для этого можно подставить в (5) . Но мы используем формулу (3) для n-ой производной арктангенса и формулу (4), связывающую арккотангенс с арктангенсом. Пусть
.
Тогда . Подставим в (3):
(3) ;
.
Далее замечаем, что
;
.
Тогда
(6) .
Это и есть искомая формула производной n-го порядка арккотангенса.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: