Вычисление производных с помощью логарифмической производной

Приводятся примеры вычисления производных с помощью логарифмической производной.

Метод решения

Пусть
(1)   y = y(x)
есть дифференцируемая функция от переменной x. В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x, для которых y принимает положительные значения:  y > 0. В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений  y < 0.

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
ln y = ln y(x),
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции,
(ln y)^′ ≡ (ln y)^′_x = (ln y)^′_y ⋅ y^′_x = 1y ⋅ y^′ = y^′y.
Отсюда
(2)   y^′ = y ⋅ (ln y(x))^′.

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
(ln y)^′ = y^′y.

Логарифмическая производная функции   y = f(x)

– это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x) )′.

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная y может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля y и найдем его производную:
(ln | y | )^′ ≡ (ln | y | )^′_x = (ln | y | )^′_y ⋅ y^′_x = 1y ⋅ y^′ = y^′y.
Отсюда
(3)   y^′ = y ⋅ (ln | y(x) | )^′.
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции y = y(x).

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
(ln y(x))^′ = (ln | y(x) | )^′.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы y(x) по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция y(x).

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x, y(x) отрицательна: y(x) < 0. Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция ln y(x) не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
ln y(x) = ln(– | y(x) | ) = ln((–1) ⋅ | y(x) | ) = ln(–1) + ln | y(x) |  = iπ + ln | y(x) | .
То есть функции ln y(x) и ln | y(x) |  отличаются на комплексную постоянную ln(–1) = iπ:
ln y(x) = ln | y(x) |  + iπ.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
(ln y(x))^′ = (ln | y(x) | )^′.

Свойство логарифмической производной

Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную C:
(ln(Cy(x)))^′ = (ln y(x))^′.
Действительно, применяя свойства логарифма, формулы производной суммы и производной постоянной, имеем:
(ln(Cy(x)))^′ = (ln C + ln y(x))^′ = (ln C )^′ + (ln y(x)))^′ =
 0 + (ln y(x))^′ = (ln y(x))^′.

Примеры применений логарифмической производной

Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

Далее мы приводим примеры вычисления производных для следующих функций:
y = x(x – 1)² (x + 1)³   y = x²2 √ 1 – 3x⁴    y = (1 – x²) cos⁵ x⁷√ x⁵ 

Пример 1

Найти производную функции:
y = x(x – 1)² (x + 1)³.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
ln y = ln x – 2 ln(x – 1) – 3 ln(x + 1).

Дифференцируем по переменной x.
В таблице производных находим:
(ln x)^′ = 1x.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
(ln y)^′ ≡ (ln y)^′_x = (ln y)^′_y ⋅ y^′_x = 1y ⋅ y^′ = y^′y;
(ln(x – 1))^′ = (ln u)^′_x = (ln u)^′_u ⋅ u^′_x = 1u ⋅ (x – 1)^′ = 1x – 1 ⋅ ((x)^′ – (1)^′) = 1x – 1;
(ln(x + 1))^′ = (ln v)^′_x = (ln v)^′_v ⋅ v^′_x = 1v ⋅ (x + 1)^′ = 1x + 1 ⋅ ((x)^′ + (1)^′) = 1x + 1;
(ln y)^′ = (ln x)^′ – 2(ln(x – 1))^′ – 3(ln(x + 1))^′;
(П1.1)   y^′y = 1x – 2x – 1 – 3x + 1.
Умножим на x(x – 1)(x + 1):
x(x – 1)(x + 1) y^′y = (x – 1)(x + 1) – 2x(x + 1) – 3x(x – 1) =
 x² – 1 – 2x² – 2x – 3x² + 3x = –4x² + x – 1.

Итак, мы нашли логарифмическую производную:
(ln y)^′ = y^′y = –4x² + x – 1x(x – 1)(x + 1).
Отсюда находим производную исходной функции:
y^′ = y ⋅ –4x² + x – 1x(x – 1)(x + 1) = x(x – 1)² (x + 1)³ ⋅ –4x² + x – 1x(x – 1)(x + 1) = –4x² + x – 1(x – 1)³ (x + 1)⁴.

Примечание

Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
 | y |  = | x(x – 1)² (x + 1)³ | =  | x |  | x – 1 | ² | x + 1 | ³.
Тогда
ln | y |  = ln | x |  – 2 ln | x – 1 |  – 3 ln | x + 1 | ;
y^′y = (ln | y | )^′ = (ln | x | )^′ – 2(ln | x – 1 | )^′ – 3(ln | x + 1 | )^′ = 1x – 2x – 1 – 3x + 1.
И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.

Ответ

y^′ = 4x² – x + 1(1 – x)³ (1 + x)⁴

Пример 2

С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
y = x²2 √ 1 – 3x⁴ .

Решение

Логарифмируем:
(П2.1)   ln y = 2 ln x – ln 2 – 12 ln(1 – 3x⁴).
Дифференцируем по переменной x:
( x⁴ )^′ = 4x^4 – 1 = 4x³;
( 1 – 3x⁴ )^′ = (1)^′ – 3( x⁴ )^′ = 0 – 3 ⋅ 4x³ = –12x³;
( ln(1 – 3x⁴) )^′ = (ln u)^′_x = (ln u)^′_u ⋅ u^′_x = 1u ⋅ ( 1 – 3x⁴ )^′ =
 11 – 3x⁴ ⋅ (–12x³) = – 12x³1 – 3x⁴;
(ln y)^′ = 2(ln x)^′ – (ln 2)^′ – 12 ( ln(1 – 3x⁴) )^′;
y^′y = 2 ⋅ 1x – 0 – 12 ⋅ ( – 12x³1 – 3x⁴ );
y^′y = 2x + 6x³1 – 3x⁴.

Умножим на x(1 – 3x⁴):
x(1 – 3x⁴) y^′y = 2(1 – 3x⁴) + 6x³ ⋅ x = 2 – 6x⁴ + 6x⁴ = 2.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
(ln y)^′ = y^′y = 2x(1 – 3x⁴).

Производная исходной функции:
y^′ = y ⋅ 2x(1 – 3x⁴) = x²2 √ 1 – 3x⁴  ⋅ 2x(1 – 3x⁴) = x(1 – 3x⁴)^3 / 2.

Примечание

Здесь исходная функция неотрицательная: y ≥ 0. Она определена при 1 – 3x⁴ > 0  ⇒  | x |  < 1⁴√ 3 . Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
ln y = ln x² – ln 2 – ln(1 – 3x⁴)^1 / 2 = 2 ln | x |  – ln 2 – 12 ln(1 – 3x⁴).
Поскольку
(ln | x | )^′ = 1x
и
(ln x )^′ = 1x,
то это не повлияет на окончательный результат.

Ответ

y^′ = x√ (1 – 3x⁴)³ .

Пример 3

Найдите производную
y = (1 – x²) cos⁵ x⁷√ x⁵ .

Решение

Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что   ⁷√ x⁵  = x⁵⁷:
(П3.1)   ln y = ln(1 – x²) + 5 ln cos x – 57 ln x.

Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
(1 – x²)^′ = (1)^′ – (x²)^′ = 0 – 2x^2 – 1 = –2x¹ = –2x;
( ln(1 – x²) )^′ = ( ln u )^′_x = ( ln u )^′_u ⋅ u^′_x = 1u ⋅ (1 – x²)^′ = 11 – x² ⋅ (–2x) = – 2x1 – x²;
(ln cos x)^′ = (ln v)^′_x = (ln v)^′_v ⋅ v^′_x = 1v ⋅ (cos x)^′ = 1cos x ⋅ (–sin x) = – sin xcos x = –tg x;
(П3.2)   (ln y)^′ = ( ln(1 – x²) )^′ + 5( ln cos x )^′ – 57 (ln x)^′ = – 2x1 – x² – 5 tg x – 57 ⋅ 1x.

Поскольку   (ln y)^′ = y^′y, то
y^′ = y ⋅ (ln y)^′ = y ⋅ ( – 2x1 – x² – 5 tg x – 57x ) =
 (1 – x²) cos⁵ x⁷√ x⁵  ⋅ ( – 2x1 – x² – 5 tg x – 57x ).

Примечание

Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
 | y |  = | (1 – x²) cos⁵ x⁷√ x⁵  | = | 1 – x² | | cos x | ⁵ | x | ^5 / 7.
Тогда вместо (П3.1) имеем:
ln | y |  = ln| 1 – x² | + 5 ln | cos x |  – 57 ln | x | ;
y^′y = (ln | y | )^′ = (ln| 1 – x² |)^′ + 5(ln | cos x | )^′ – 57 (ln | x | )^′ =
 11 – x² ⋅ ( 1 – x² )^′ + 5cos x ⋅ (cos x)^′ – 57 ⋅ 1x = – 2x1 – x² – 5 sin xcos x – 57x.
Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.

Ответ

y^′ = (x² – 1) cos⁵ x⁷√ x⁵  ⋅ (  2x1 – x² + 5 tg x + 57x ).

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 25-11-2016   Изменено: 29-01-2017