Вычисление производных степенно-показательных функций

Определение и формулы

Степенно-показательная функция

– это функция, имеющая вид степенной функции
y = u^v,
у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
u = u(x);   v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.

Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.

Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:
(1)   .

Производная степенно-показательной функции

Вычисление с помощью логарифмической производной

Найдем производную степенно-показательной функции
(2)   ,
где и есть функции от переменной .
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:
.
Дифференцируем по переменной x:
(3)   .
Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:
;
.

Подставляем в (3):
.
Отсюда
.

Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1)   .
Если показатель степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
.
Если основание степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
.
Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.

Вычисление производной приведением к сложной показательной функции

Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2)   ,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4)   .

Дифференцируем произведение:
.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:

.
И мы снова получили формулу (1).

Примеры

Далее мы рассмотрим два примера вычисления производной степенно-показательной функции.
 

Пример 1

Найти производную следующей функции:
.

Решение

Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1)   .

Из таблицы производных находим:
;
.
По формуле производной произведения имеем:
.
Дифференцируем (П1.1):
.
Поскольку
,
то
.

Ответ

.

Пример 2

Найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1)   .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:

.
Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:

.
Поскольку
,
то
.

Ответ

.