Вычисление производных степенно-показательных функций

Определение степенно-показательной функции. Вывод формулы для вычисления ее производной. Подробно разобраны примеры вычисления производных степенно-показательных функций.

Определение и формулы

Степенно-показательная функция

– это функция, имеющая вид степенной функции
y = u^v,
у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:
u = u(x);   v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной или сложной показательной функцией.

Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
u^v = ( e^ln u )^v = e^v ln u.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.

Далее мы покажем, что производная степенно-показательной функции определяется по формуле:
(1)   ( u^v )^′ = vu^v – 1 u^′ + u^v v^′ ln u.

Производная степенно-показательной функции

Вычисление с помощью логарифмической производной

Найдем производную степенно-показательной функции
(2)   y = u^v,
где u и v есть функции от переменной x.
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма:
ln y = ln u^v = v ln u.
Дифференцируем по переменной x:
(3)   (ln y)^′ = (v ln u)^′.
Применяем правила дифференцирования сложной функции и произведения:
(ln y)^′ ≡ (ln y)^′_x = (ln y)^′_y ⋅ y^′_x = 1y ⋅ y^′ = y^′y;
(v ln u)^′ = v^′ ln u + v (ln u)^′ = v^′ ln u + v u^′u.

Подставляем в (3):
y^′y = v^′ ln u + v u^′u.
Отсюда
y^′ = y ⋅ ( v^′ ln u + v u^′u ) = u^v ⋅ ( v^′ ln u + v u^′u ) = u^v v^′ ln u + vu^v – 1 u^′.

Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1)   y^′ = vu^v – 1 u^′ + u^v v^′ ln u.
Если показатель степени v являются постоянной, то v^′ = 0. Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
y^′ = vu^v – 1 u^′.
Если основание степени u являются постоянной, то u^′ = 0. Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
y^′ = u^v v^′ ln u.
Когда u и v являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.

Вычисление производной приведением к сложной показательной функции

Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2)   y = u^v,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4)   u^v = e^v ln u.

Дифференцируем произведение:
(v ln u)^′ = v^′ ln u + v (ln u)^′ = v^′ ln u + v u^′u.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:
y^′ = ( u^v )^′ = ( e^v ln u )^′ = ( e^z )^′_x = ( e^z )^′_z ⋅ z^′_x = e^z ⋅ (v ln u)^′ = e^v ln u ⋅ ( v^′ ln u + v u^′u  ) =
 u^v ⋅ ( v^′ ln u + v u^′u  ) = u^v v^′ ln u + vu^v – 1 u^′.
И мы снова получили формулу (1).

Примеры

Далее мы рассмотрим два примера вычисления производной степенно-показательной функции.
y = x^sin x   y = (ctg x)^cos x

Пример 1

Найти производную следующей функции:
y = x^sin x.

Решение

Вычисляем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1)   ln y = ln x^sin x = sin x ⋅ ln x.

Из таблицы производных находим:
(sin x)^′ = cos x;
(ln x)^′ = 1x.
По формуле производной произведения имеем:
(sin x ⋅ ln x)^′ = (sin x)^′ ⋅ ln x + sin x ⋅ (ln x)^′ = cos x ⋅ ln x + sin x ⋅ 1x.
Дифференцируем (П1.1):
(ln y)^′ = (sin x ⋅ ln x)^′ = cos x ⋅ ln x + sin xx.
Поскольку
(ln y)^′ = y^′y,
то
y^′ = y ⋅ (ln y)^′ = y ⋅ ( cos x ⋅ ln x + sin xx ) = x^sin x ⋅ ( cos x ⋅ ln x + sin xx ).

Ответ

y^′ = x^sin x ⋅ ( cos x ⋅ ln x + sin xx ).

Пример 2

Найдите производную функции
y = (ctg x)^cos x.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1)   ln y = cos x ⋅ ln ctg x.
Из таблицы производных находим:
(cos x)^′ = –sin x;
(ctg x)^′ = – 1sin² x.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
(ln ctg x)^′ = (ln u)^′_x = (ln u)^′_u ⋅ u^′_x = 1u ⋅ (ctg x)^′ = 1ctg x ⋅ ( – 1sin² x ) =
 – sin xcos x ⋅ 1sin² x = – 1sin x ⋅ cos x.
Дифференцируем (П2.1), применяя формулу производной произведения двух функций:
(ln y)^′ = (cos x ⋅ ln ctg x)^′ = (cos x)^′ ⋅ ln ctg x + cos x ⋅ (ln ctg x)^′ =
 –sin x ⋅ ln ctg x – cos xsin x ⋅ cos x = –sin x ⋅ ln ctg x – 1sin x.
Поскольку
(ln y)^′ = y^′y,
то
y^′ = y ⋅ (ln y)^′ = (ctg x)^cos x ⋅ ( –sin x ⋅ ln ctg x – 1sin x ).

Ответ

y^′ =– (ctg x)^cos x ⋅ (  1sin x + sin x ⋅ ln ctg x ).

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 29-11-2016