Производная произведения двух функций
Формула производной произведения двух функций
Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. Тогда их произведение имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1) .
Доказательство
Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.
Далее замечаем, что
;
.
По условию функции и имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции и непрерывны в точке . Поэтому
;
.
Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является произведением функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :
.
Теперь находим производную:
.
Итак,
.
Правило доказано.
Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные и , то производная произведения двух функций определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1) .
Следствие
Пусть являются функциями от независимой переменной x. Тогда
;
;
и т. д. ...
Докажем первую формулу. Вначале применим формулу производной произведения (1) для функций и , а затем – для функций и :
.
Аналогично доказываются другие подобные формулы.
Примеры
Все примеры Далее рассмотрены примеры вычисления производных от следующих функций:
Пример 1
Все примеры Найдите производную
.
Решение
Применяем правило дифференцирования произведения двух функций
(1) .
.
Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Пример 2
Все примеры Найти производную функции от переменной x
.
Решение
Применяем формулу производной произведения двух функций:
(1) .
.
Применяем формулу производной суммы и разности функций:
.
.
Применяем правила дифференцирования постоянных:
;
.
;
.
Из таблицы производных находим:
;
.
Тогда
;
;
.
Окончательно имеем:
.
Ответ
.
Пример 3
Все примеры Найти производную функции
.
Решение
Последовательно применяем правила дифференцирования.
;
;
;
;
.
Ответ
.
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: Изменено: