Методы решения физико-математических задач

Доказательство формулы производной сложной функции

Производная сложной функции
Приводится доказательство формулы производной сложной функции. Подробно рассмотрены случаи, когда сложная функция зависит от одной и двух переменных. Производится обобщение на случай произвольного числа переменных.

Здесь мы приводим вывод следующих формул для производной сложной функции.
Если   , то
.
Если   , то
.
Если   , то
.

Производная сложной функции от одной переменной

Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
где и есть некоторые функции. Функция дифференцируема при некотором значении переменной x. Функция дифференцируема при значении переменной .
Тогда сложная (составная) функция дифференцируема в точке x и ее производная определяется по формуле:
(1)   .

Формулу (1) также можно записать так:
;
.

Доказательство

Введем следующие обозначения.
;
.
Здесь есть функция от переменных и , есть функция от переменных и . Но мы будем опускать аргументы этих функций, чтобы не загромождать выкладки.

Поскольку функции и дифференцируемы в точках x и , соответственно, то в этих точках существуют производные этих функций, которые являются следующими пределами:
;
.

Рассмотрим следующую функцию:
.
При фиксированном значении переменной u, является функцией от . Очевидно, что
.
Тогда
.

Поскольку функция является дифференцируемой функцией в точке , то она непрерывна в этой точке. Поэтому
.
Тогда
.

Теперь находим производную.

.

Формула доказана.

Следствие

Если функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от сложной функции
,
то ее производная определяется по формуле
.
Здесь , и есть некоторые дифференцируемые функции.

Чтобы доказать эту формулу, мы последовательно вычисляем производную по правилу дифференцирования сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию
.
Ее производная
.
Рассмотрим исходную функцию
.
Ее производная
.

Производная сложной функции от двух переменных

Теперь пусть сложная функция зависит от нескольких переменных. Вначале рассмотрим случай сложной функции от двух переменных.

Пусть функцию , зависящую от переменной x, можно представить как сложную функцию от двух переменных в следующем виде:
,
где
и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– функция от двух переменных, дифференцируемая в точке ,. Тогда сложная функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в производную, которая определяется по формуле:
(2)   .

Доказательство

Поскольку функции и дифференцируемы в точке , то они определены в некоторой окрестности этой точки, непрерывны в точке и существуют их производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Здесь
;
.
В силу непрерывности этих функций в точке имеем:
;
.

Поскольку функция дифференцируема в точке , то она определена в некоторой окрестности этой точки, непрерывна в этой точке и ее приращение можно записать в следующем виде:
(3)   .
Здесь

– приращение функции при приращении ее аргументов на величины и ;
;

– частные производные функции по переменным и .
При фиксированных значениях и , и есть функции от переменных и . Они стремятся к нулю при и :
;
.
Поскольку    и  , то
;
.

Приращение функции :

.
Производная сложной функции :
.
Подставим (3):



.

Формула доказана.

Производная сложной функции от нескольких переменных

Приведенный выше вывод легко обобщается на случай, когда число переменных сложной функции больше двух.

Например, если f является функцией от трех переменных, то
,
где
, и есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– дифференцируемая функция, от трех переменных, в точке , , .
Тогда, из определения дифференцируемости функции , имеем:
(4)  
.
Поскольку, в силу непрерывности,
;   ;   ,
то
;
;
.

Разделив (4) на и выполнив предельный переход , получим:
.

И, наконец, рассмотрим самый общий случай.
Пусть функцию от переменной x можно представить как сложную функцию от n переменных в следующем виде:
,
где
есть дифференцируемые функции при некотором значении переменной x;
– дифференцируемая функция от n переменных в точке
, , ... , .
Тогда
.

.     Опубликовано:   Изменено: