Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях

Если функция  f  непрерывна на отрезке [a,b],
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Непрерывная на отрезке [a,b] функция  f 
достигает на нем своих нижней и верхней граней.
Или, что тоже самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума.
То есть существуют такие точки x₁, x₂ ∈ [a,b], так что для любого x ∈ [a,b], выполняются неравенства:
f(x₁) ≤  f(x) ≤  f(x₂).
Доказательство

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Все теоремы Если функция  f  непрерывна на отрезке [a,b],
то она ограничена на этом отрезке.

Допустим противное. Пусть функция не ограничена при . Это означает, что для любого всегда можно найти такое , что .

Задавая последовательно значения , мы получим последовательность , элементы которой принадлежат отрезку : , и для которых
(1.1)   .
Рассмотрим последовательность . Учитывая (1.1), и поскольку , то по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
(1.2)   .

Рассмотрим последовательность . Согласно теореме Больцано - Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу . Эту подпоследовательность обозначим как . Тогда
.
Поскольку , то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами,
.

Далее, есть подпоследовательность последовательности , которая имеет бесконечный предел +∞ (см. (1.2)). Поскольку предел любой подпоследовательности равен пределу последовательности, то
.

Итак, мы нашли последовательность , сходящуюся при к числу . И для этой последовательности
(1.3)   .
Это противоречит определению непрерывности по Гейне, согласно которому предел последовательности должен равняться конечному числу – значению функции в точке :
.
Тогда и предел модуля (1.3), также должен равняться конечному числу:
.

Теорема доказана.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Все теоремы Непрерывная на отрезке [a,b] функция  f 
достигает на нем своих нижней и верхней граней.
Или, что тоже самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума.
То есть существуют такие точки x₁, x₂ ∈ [a,b], так что для любого x ∈ [a,b], выполняются неравенства:
f(x₁) ≤  f(x) ≤  f(x₂).

Доказательство для максимума

Докажем сначала теорему для максимума. Пусть число является верхней гранью значений функции на отрезке : . Согласно первой теореме Вейерштрасса ⇑, функция ограничена на этом отрезке. Поэтому – конечное число. Нам нужно показать, что
, где .

По определению верхней грани, выполняются следующие условия:
1)  для всех ;
2)  для любого , существует такое, что
.

Положим . Тогда существует такая точка , для которой
.
Вычтем из всех частей неравенств число M:
.
Умножим на –1:
.
Поменяем неравенства местами:
.

Таким образом мы построили последовательности и , элементы которых удовлетворяют неравенствам:
;
.
Покажем, что .
Для этого изменим последнее неравенство и введем числа и :
.
Отсюда видно, что для любого всегда можно указать натуральное число . Тогда для всех , . Согласно определению предела последовательности это означает, что
(2.1)   .

Рассмотрим последовательность . Согласно теореме Больцано - Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому числу . Эту подпоследовательность обозначим как . Тогда
.
Поскольку , то по свойству пределов последовательностей, связанных неравенствами,
.

Рассмотрим последовательность . Она является подпоследовательностью последовательности . Поскольку сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому
(2.2)   .

Поскольку при , то согласно определению непрерывности по Гейне, (2.3)   .

Поскольку сходящаяся последовательность может иметь только один предел, то из (2.2) и (2.3) следует, что
.
То есть верхняя грань равна значению функции в одной из точек отрезка . Поэтому также является максимальным значением функции на этом отрезке.
Для максимума теорема доказана.

Доказательство для минимума

Доказательство теоремы для минимума аналогично предыдущему. Изложим его вкратце.

Пусть . Тогда
1)  для всех ;
2)  для любого , существует такое, что
.

Полагая , мы получим последовательности , и элементы которых удовлетворяют неравенствам:
;
.
из последней строчки видно, что
(2.4)   .

Из последовательности выделим подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу :
.
Поскольку , то по свойству неравенств,
.

Рассмотрим последовательность . Она является подпоследовательностью последовательности . Поскольку сходится к числу , то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же числу. Поэтому
(2.5)   .

Поскольку при , то согласно определению непрерывности по Гейне, (2.6)   .

Поскольку сходящаяся последовательность может иметь только один предел, то
.
То есть нижняя грань равна значению функции в одной из точек отрезка . Поэтому также является минимальным значением функции на этом отрезке.

Теорема доказана.