Непрерывность функций – теоремы и свойства

Приводятся определения и формулировки основных теорем и свойств непрерывной функции одной переменной. Рассмотрены свойства непрерывной функции в точке, на отрезке, предел и непрерывность сложной функции, классификация точек разрыва. Даны определения и теоремы, связанные с обратной функцией. Изложены свойства элементарных функций.

Содержание

См. также:

Определение

Непрерывная функция в точке: Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена на некоторой окрестности этой точки, если существует предел при x стремящемся к x₀, и если этот предел равен значению функции в x₀:
.

Используя определения предела функции по Коши и по Гейне, можно дать развернутые определения непрерывности функции в точке.

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.
Введем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Тогда функция непрерывна в точке , если
.

Непрерывность функции справа (слева): Функция f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке x₀, если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x₀ равен значению функции в x₀:
.

Свойства непрерывных в точке функций

Теорема об ограниченности непрерывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
Тогда существует такая окрестность U(x₀), на которой функция ограничена.
Доказательство

Теорема о сохранении знака непрерывной функции

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть она имеет положительное (отрицательное) значение в этой точке:
f(x₀) > 0 ( f(x₀) < 0 ).
Тогда существует такая окрестность U(x₀) точки x₀, на которой функция имеет положительное (отрицательное) значение:
f(x) > 0 ( f(x) < 0 ) при x ∈ U(x₀).
Доказательство

Арифметические свойства непрерывных функций

Пусть функции

непрерывны в точке

.
Тогда их сумма

, разность

и произведение

непрерывны в точке

.
Если

,
то и частное функций

непрерывно в точке

.
Доказательство

Свойство непрерывности слева и справа

Функция

непрерывна в точке

тогда и только тогда,
когда она непрерывна в

слева и справа.
Доказательство

Непрерывность сложной функции

Теорема о непрерывности сложной функции

Пусть функция t = g(x) непрерывна в точке x₀.
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t₀ = g(x₀).
Тогда сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке x₀.
Доказательство

Предел сложной функции

Теорема о пределе непрерывной функции от функции

Пусть существует предел функции t = g(x) при x → x₀, и он равен t₀:

.
Здесь точка x₀ может быть конечной или бесконечно удаленной:

.
И пусть функция f(t) непрерывна в точке t₀.
Тогда существует предел сложной функции f(g(x)), и он равен f(t₀):

.
Доказательство

Теорема о пределе сложной функции

Пусть функции

имеют пределы:

;

.
И пусть существует такая проколотая окрестность

точки

, на которой

.
Здесь

– конечные или бесконечно удаленные точки:

.
Окрестности и соответствующие им пределы могут быть как двусторонние, так и односторонние.
Тогда существует предел сложной функции

, и он равен

.
Доказательство

Определения точек разрыва

Точка разрыва функции: Пусть функция определена на некоторой проколотой окрестности точки . Точка называется точкой разрыва функции , если выполняется одно из двух условий:
1) не определена в ;
2) определена в , но не является непрерывной ⇑ в этой точке.
Точка разрыва первого рода: Точка называется точкой разрыва первого рода, если является точкой разрыва и существуют конечные односторонние пределы слева и справа :
.
Скачок функции: Скачком Δ функции в точке называется разность пределов справа и слева
.
Точка устранимого разрыва: Точка называется точкой устранимого разрыва, если существует предел
,
но функция в точке или не определена, или не равна предельному значению: .

Таким образом, точка устранимого разрыва – это точка разрыва 1-го рода, в которой скачек функции равен нулю.

Точка разрыва второго рода: Точка называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода. То есть если не существует, хотя бы одного одностороннего предела, или хотя бы один односторонний предел в точке равен бесконечности.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Непрерывная функция на отрезке: Функция называется непрерывной на отрезке (при ), если она непрерывна во всех точках открытого интервала (при ) и непрерывна справа и слева ⇑ в точках a и b, соответственно.

Первая теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции

Если функция

непрерывна на отрезке

,
то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство

Достижимость максимума (минимума): Функция достигает своего максимума (минимума) на множестве , если существует такой аргумент , для которого
для всех .
Достижимость верхней (нижней) грани: Функция достигает своей верхней (нижней) грани на множестве , если существует такой аргумент , для которого
.

Вторая теорема Вейерштрасса о максимуме и минимуме непрерывной функции

Непрерывная на отрезке [a,b] функция f
достигает на нем своих нижней и верхней граней.
Или, что тоже самое, достигает на отрезке своего минимума и максимума.
То есть существуют такие точки x₁, x₂ ∈ [a,b], так что для любого x ∈ [a,b], выполняются неравенства:
f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂).
Доказательство

Вторая теорема Больцано – Коши о промежуточном значении

Пусть функция

непрерывна на отрезке

.
И пусть C есть произвольное число, находящееся между значениями функции на концах отрезка:

.
Тогда существует точка

, для которой

.
Доказательство

Следствие 1 (первая теорема Больцано – Коши)

Пусть функция

непрерывна на отрезке

.
И пусть значения функции на концах отрезка имеют разные знаки:

или

.
Тогда существует точка

, значение функции в которой равно нулю:

Следствие 2

Пусть функция

непрерывна на отрезке

.
И пусть

.
Тогда функция принимает на отрезке все значения из

и только эти значения:

при

Обратные функции

Обратная функция: Пусть функция имеет область определения X и множество значений Y. И пусть она обладает свойством:
для всех .
Тогда для любого элемента из множества Y можно поставить в соответствие только один элемент множества X, для которого . Такое соответствие определяет функцию, которая называется обратной функцией к . Обратная функция обозначается так:
.

Из определения следует, что
;
для всех ;
для всех .

Теорема о существовании и монотонности обратной функции

Если функция

строго возрастает (убывает),
то существует обратная функция

, которая также строго возрастает (убывает).
Доказательство

Свойство симметрии графиков обратных функций

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X,
и имеет множество значений Y:

.
И пусть она имеет на множестве X обратную функцию f^-1:

.
Тогда графики прямой

и обратной

функций, построенные при значениях их аргументов

, соответственно, симметричны относительно прямой

.
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на отрезке

Пусть функция

непрерывна
и строго возрастает (строго убывает) на отрезке

.
Тогда на отрезке

определена и непрерывна обратная функция

, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции

.
Для убывающей:

.
Доказательство

Теорема о существовании и непрерывности обратной функции на интервале

Пусть функция

непрерывна
и строго возрастает (строго убывает) на открытом конечном или бесконечном интервале

.
Тогда на интервале

определена и непрерывна обратная функция

, которая строго возрастает (строго убывает).
Для возрастающей функции

.
Для убывающей:

.
Доказательство

Аналогичным образом можно сформулировать теорему о существовании и непрерывности обратной функции на полуинтервале.

Свойства и непрерывность элементарных функций

Элементарные функции и обратные к ним непрерывны на своей области определения. Далее мы приводим формулировки соответствующих теорем и даем ссылки на их доказательства.

Показательная функция

Показательная функция: Показательная функция f(x) = a^x, с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.

Теорема. Свойства показательной функции

Показательная функция

имеет на множестве действительных чисел x следующие свойства:
(П.0) определена, при

, для всех

;
(П.1) при a ≠ 1 имеет множество значений

;
(П.2) строго возрастает при

, строго убывает при

, является постоянной

при

;
(П.3)

;
(П.3*)

;
(П.4)

;
(П.5)

;
(П.5*)

;
(П.6)

;
(П.7)

;
(П.8) непрерывна для всех

;
(П.9)

при

;

при

.
Доказательство

Логарифм

Логарифмическая функция: Логарифмическая функция, или логарифм, y = log_a x, с основанием a – это функция, обратная к показательной функции с основанием a.

Теорема. Свойства логарифма

Логарифмическая функция с основанием a, y = log_a x
имеет следующие свойства:
(Л.1) определена и непрерывна, при

, для положительных значений аргумента,

;
(Л.2) имеет множество значений

;
(Л.3) строго возрастает при

, строго убывает при

;
(Л.4)

при

;

при

;
(Л.5)

;
(Л.6)

при

;
(Л.7)

при

;
(Л.8)

при

;
(Л.9)

при

.
Доказательство

Экспонента и натуральный логарифм

В определениях показательной функции и логарифма фигурирует постоянная a, которая называется основанием степени или основанием логарифма. В математическом анализе, в подавляющем большинстве случаев, получаются более простые вычисления, если в качестве основания использовать число e:
.
Показательную функцию с основанием e называют экспонентой: , а логарифм по основанию e – натуральным логарифмом: .

Свойства экспоненты и натурального логарифма изложены на страницах
«Число e – его смысл и доказательство сходимости последовательности»;
«Экспонента, е в степени х»;
«Натуральный логарифм, функция ln x».

Степенная функция

Степенная функция: с показателем степени p – это функция f(x) = x^p, значение которой в точке x равно значению показательной функции с основанием x в точке p.
Кроме этого, f(0) = 0^p = 0 при p > 0.

Здесь мы рассмотрим свойства степенной функции y = x^p при неотрицательных значениях аргумента . Для рациональных , при нечетных m, степенная функция определена и для отрицательных x. В этом случае, ее свойства можно получить, используя четность или нечетность.
Эти случаи подробно рассмотрены и проиллюстрированы на странице «Степенная функция, ее свойства и графики».

Теорема. Свойства степенной функции (x ≥ 0)

Степенная функция, y = x^p, с показателем p
имеет следующие свойства:
(С.1) определена и непрерывна на множестве

при

;
(С.2) имеет множество значений

при

;
(С.3) строго возрастает при

,
строго убывает при

;
(С.4)

при

;

при

;
(С.5)

;
(С.5*)

;
(С.6)

;
(С.7)

;
(С.7*)

;
(С.8)

;
(С.9)

.
Доказательство

Тригонометрические функции

Теорема о непрерывности тригонометрических функций

Тригонометрические функции: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x) и котангенс (ctg x),
непрерывны на своих областях определения.
Доказательство

Теорема о непрерывности обратных тригонометрических функций

Обратные тригонометрические функции: арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x) и арккотангенс (arcctg x),
непрерывны на своих областях определения.
Доказательство

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: 15-08-2018 Изменено: 09-06-2020

См. также: