Производная тангенса: (tg x)′
Производная по переменной x от тангенса x равна единице, деленной на косинус в квадрате от x:
( tg x )′ = .
Вывод формулы производной тангенса
Для вывода формулы производной тангенса, мы воспользуемся следующими математическими фактами:
1) Выражением тангенса через синус и косинус:
(1) ;
2) Значением производной синуса:
(2) ;
3) Значением производной косинуса:
(3) ;
4) Формулой производной дроби:
(4) ;
5) Тригонометрической формулой:
(5) .
Применяем эти формулы и правила к производной тангенса.
.
Формула производной тангенса доказана.
Производные синуса и косинуса определены для всех значений переменной x. Формула производной дроби (4) справедлива для тех значений переменной x, в которых существуют производные функций и и для которых знаменатель дроби не обращается в нуль:
.
Таким образом, производная тангенса справедлива для всех x, кроме точек, в которых . То есть кроме точек
,
где – целое число.
С другой стороны, сама функция y = tg x определена для всех x, кроме точек
.
Поэтому производная тангенса определена на всей области определения тангенса.
Пример
Все примерыНайти производные от tg 2x, tg 3x и tg nx.
Решение
Найдем производную от функции tg nx.
Представим эту функцию как сложную, состоящую из двух функций:
1) Функции , зависящей от переменной : ;
2) Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция является сложной функцией, составленной из функций и :
.
Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции:
.
Заменим :
.
Подставляя вместо n значения и , получаем производные функций tg 2x и tg 3x:
;
.
Ответ
;
;
.
См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >
Производные высших порядков
К сожалению, простой формулы, для производной n-го порядка от функции y = tg x, нет. Однако, если требуется найти производные высшего порядка, то процесс дифференцирования можно упростить и свести его к дифференцированию многочлена.
Для этого заметим, что производную от тангенса можно выразить через сам тангенс (через саму функцию):
.
Тем самым мы нашли дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет тангенс:
(6) .
Найдем производную второго порядка, дифференцируя уравнение (6) и применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Подставим (6):
(7) .
Найдем производную третьего порядка. Для этого дифференцируем уравнение (7) и применяем правило дифференцирования сложной функции. Также используем выражение (6) для первой производной:
.
Аналогичным способом находим производные четвертого и пятого порядков:
;
.
В общем виде, производную n-го порядка, по переменной x от функции тангенс, , можно представить в виде многочлена по степеням тангенса:
.
Коэффициенты связаны рекуррентным соотношением:
,
где
; ;
.
Общая формула
Процесс дифференцирования можно представить одной формулой. Для этого заметим, что
.
Тогда n-я производная тангенса имеет следующий вид:
,
где .
Автор: Олег Одинцов. Опубликовано: